Notes sur l'équation d'évolution classique de Schrödinger - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation d'évolution classique de Schrödinger - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'équation d'évolution classique de Schrödinger - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation d'évolution unidimensionnelle, l'équation de Schrödinger classique unidimensi...
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(42.229)

Nous aurions alors :

et (42.230)

Ce qui injecté dans l'équation d'évolution unidimensionnelle donne :

(42.231)

ce qui donne après simplification :

(42.232)

Le terme de gauche ne dépend que de t, celui de droite que de x. Puisqu'ils sont égaux, ils sont

nécessairement égaux aussi à une constante qui a la dimension d'une énergie (U(x) est une

énergie potentielle pour rappel).

Donc pour le terme de gauche:

(42.233)

alors :

(42.234)

et pour le terme de droite :

(42.235)

qui peut s'écrire :

(42.236)

après factorisation :

(42.237)

Soit avec les notations du site :

(42.238)

nous retrouvons donc l'équation de Schrödinger classique unidimensionnelle ce qui est pas mal

du tout comme résultat!

Maintenant, puisque nous avions posé :

(42.239)

Alors nous avons finalement :

(42.240)

ce que nous pouvons écrire sous les notations des paragraphes précédents :

(42.241)

Nous trouvons également cette dernière relation sous plusieurs formes différentes dans la

littérature dont voici quelques trois échantillons:

(42.242)

COMBINAISON LINÉAIRE DES éTATS

Il faut remarquer avant que nous passions à un autre sujet quelque chose de très important que

nous avions juste mentionnée dans le deuxième postulat!

Effectivement, toute équation de la forme suivant vue précédemment:

(42.243)

est donc solution de l'équation évolutive de Schrödinger et comme dans les systèmes

quantiques l'hamiltonien peut prendre (ou être associé à) plusieurs valeurs propres discrètes

notées traditionnellement nous avons alors, comme mentionné au début de ce chapitre, par

le principe de combinaison linéaire des équations différentielles la solution générale suivante:

(42.244)

dont nous aurons plusieurs exemples pratiques (de la discrétisation des états d'énergie et que

ceux-ci sont en nombre infini) dans le présent chapitre et celui de Chimie Quantique.

Si nous écrivons la constante de normalisation de de la relation précédente, nous avons

alors:

(42.245)

Cette dernière relation s'écrirait sous la forme ket-bra traditionnelle suivante:

(42.246)

où le coefficient constant est assimilé à (avouez que c'est plus simple non?).

Nous disons alors que l'état est une combinaison linéaire d'états

élémentaires. représente donc aussi une particule d'onde comme étant simultanément en

plusieurs sous-états différents.

Il est intéressant de remarquer que chaque solution:

(42.247)

décrit un "état stationnaire". Voyons (enfin!) rigoureusement de quoi il s'agit.

En effet, nous avons:

(42.248)

qui est donc indépendant du temps d'où l'origine du nom "état stationnaire" (nous avions

promis d'en définir l'origine en début de chapitre... donc voilà qui est fait!).

Les fonctions étant normalisées nous avons donc:

(42.249)

Les calculs nous ont montré plus haut (nous avions fait la démonstration de deux manières

différentes) que les fonctions propres ont les propriétés suivantes:

(42.250)

quand et:

(42.251)

quand . C'est cette propriété qui nous avait amené dans le troisième postulat à parler de

"base orthogonale des fonctions propres stationnaires".

Continuons notre calcul qui peut s'écrire en utilisant le symbole de Kronecker (cf. chapitre de

Calcul Tensoriel):

(42.252)

Nous pouvons alors interpréter le terme comme le poids de la fonction propre dans

l'état quantique , la probabilité d'être en fait dans l'état propre vaut alors et la

normalisation impose alors:

(42.253)

Retenons donc qu'un état quantique quelconque peut toujours être interprété comme étant une

combinaison linéaire d'états propres. Le coefficient d'une fonction/état propre est

alors associé à une probabilité .

C'est ce résultat mathématique, super important!, qui est à l'origine du paradoxe du chat de

Schrödinger (parmi d'autres...) et de nombreux débats.

Pour clore ce petit sujet, remarquons une chose:

Si les coefficients ne sont pas les coefficients déjà normalisés, mais non-normalisés, les

physiciens notent alors leur normalisation ainsi:

(42.254)

car très souvent ils utilisent la même notation pour le coefficient normalisé et le non-normalisé

dans leurs développements...

L'écriture de la dernière relation se justifie aisément car rappelons que nous devons avoir:

(42.255)

et nous avons effectivement après réarrangement:

(42.256)

Notons enfin qu'avec la notation ket-bra traditionelle, la relation:

(42.257)

se note souvent dans certains ouvrages spécialisés:

(42.258)

qui donne donc toujours la probababilité de trouver l'état n à la positions x.

ÉQUATION De continuitÉ

Considérons maintenant l'exemple important de l'équation d'évolution pour une particule libre,

c'est-à-dire avec . Nous avons donc:

(42.259)

La probabilité de trouver la particule dans un volume V est comme nous l'avons vu, donnée par

:

(42.260)

d'où :

(42.261)

En tenant compte de l'équation d'évolution de la particule libre, le second terme de l'égalité

s'écrit :

(42.262)

où nous avons posé :

(42.263)

D'après le théorème d'Ostrogradsky (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), il vient donc :

(42.264)

où l'intégrale de droite est effectuée sur la surface S qui limite le volume V. La relation

précédente exprime donc bien que la variation par unité de temps de la probabilité de trouver

la particule dans V est égale au flux traversant la surface S et le vecteur peut être interprété

comme une densité de courant de probabilité qui satisfait l'équation de continuité telle que

nous l'avons déterminée en thermodynamique :

(42.265)

d'où :

(42.266)

En mécanique quantique, il y aurait donc conservation du flux de particules : Il n'y a ni création

ni disparition de particule, alors que dans la nature (les observations expérimentales) nous

observons pourtant de tels phénomènes... il y donc contradiction entre l'expérience et la théorie

ce qui invalide nos développements.

Par contre, cette équation exprime la conservation de la probabilité aussi! Donc de la propriété

d'existence de la particule et des caractéristiques qu'elle transporte. Par exemple, si nous

multiplions cette dernière relation par la cher de la particule, nous exprimons alors la continuité

du courant.

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