Notes sur l'équation d'onde relativiste d'une corde transversale , Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez9 January 2014

Notes sur l'équation d'onde relativiste d'une corde transversale , Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur l'équation d'onde relativiste d'une corde transversale. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la surface d'Univers, Remarques, a métrique induite, la métrique induite de la surface param...
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Nous allons maintenant déterminer l'action d'une corde relativiste. Nous pouvons, pour poser

les bases de notre étude, nous rappeler qu'une particule ponctuelle trace une ligne dans

l'espace-temps (chaque point de la ligne étant repéré par une coordonnée temporelle et trois

spatiales). Dès lors, par extension, une corde qui est un élément bidimensionnel (si nous la

considérons sans épaisseur) trace une surface dans l'espace-temps.

Ainsi, au même titre que la ligne que trace une particule dans l'espace-temps est appelée une

"ligne d'Univers" (cf. chapitre de Relativité Restreinte), la surface tracée par une corde sera

appelée par analogie une "surface d'Univers".

Une corde fermée dans l'espace-temps de Minkowski trace, par exemple, un tube, alors qu'une

corde ouverte tracera une bande :

(52.10)

Sur la figure ci-dessus, à deux dimensions spatiales et une temporelle, la corde est immobile

dans notre espace courant. Elle se meut que dans l'espace-temps (car le temps s'écoule sur

l'axe vertical) mais pas dans l'espace dans l'exemple-ci-dessus (il faudrait une composante

spatiale supplémentaire pour voir un tel mouvement).

Remarques:

R1. Attention! rappellez-vous bien que le schéma ci-dessous est dans trois dimensions alors que

l'espace-temps a lui quatre dimensions.

R2. Rappelez-vous également que le vecteur temps de la base orthogonale est toujours

perpendiculaire à toutes les autres composantes spatiales (cette remarque sera utile lors de notre

démonstration de l'action de Nambu-Goto).

Lors de notre démonstration de l'équation du mouvement dans le chapitre de Relativité

Générale, nous avons reparamétré la ligne d'Univers de la particule à l'aide d'un paramètre qui

était le temps propre de la particule t.Effectivement il suffit de se rappeler des équations

paramétriques qui représentent des courbes. Par exemple avec Maple:

> with(plots):

> spacecurve([cos(t),sin(t),t],t=0..4*Pi,axes=boxed);

(52.11)

et la même procédure est valable pour une ligne en quatre dimensions (espace+temps).

Nous étions ainsi arrivés à construire l'expression de l'action S de celle-ci avant d'y appliquer le

principe variationnel.

Nous allons faire de même pour une corde relativiste à la différence que nous allons

reparamétrer les surfaces engendrées par les cordes cette fois-ci. Les contraintes que nous

nous imposerons sont que les paramètres choisis devront aussi (en faisant référence au cas de

la particule) être des invariants relativistes.

Comme nous l'avons donc vu en relativité générale, une ligne d'Univers peut être reparamétrée

naturellement en utilisant seulement un paramètre (abscisse curviligne). Une surface dans

l'espace est cependant un objet bidimensionnel, ainsi nous supposerons qu'il requiert par

extension deux paramètres (un de plus) pour être décrit complètement.

Effectivement, nous devinons, qu'un des deux paramètres sera le temps propre (pour faire

évoluer la surface dans le temps), le second paramètre permettra de donner une "épaisseur" à

ce qui ne serait qu'une ligne d'Univers s'il n'existait pas. Il suffirait dans un espace à trois

dimensions que ce deuxième paramètre ait les dimensions d'une longueur pour générer une

surface mais dans l'espace-temps à quatre dimensions il faut que second paramètre ait les

unités d'une surface.

Etant donné une surface paramétrée, nous pouvons dessiner sur celle-ci les isolignes des

paramètres (les lignes ou les deux paramètres sont constants sur toute la surface). Ces

isolignes couvrent la surface comme une grille (voir figure un peu plus bas).

L'équation paramétrique d'un volume requiert dans l'espace trois paramètres comme nous

l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Analytique. Ainsi, si une surface paramétrée peut dans

l'espace euclidien être représentée par un vecteur du type :

(52.12)

lors d'une reparamétrisation et en faisant usage de la notation tensorielle de l'espace-temps de

Minkowski tel que vu dans le chapitre de Relativité Générale, nous aurons (en nous restreignent

pour l'instant aux cas particulier de deux dimensions spatiales et une temporelle) :

(52.13)

Ainsi, la surface est l'image des paramètres . Alternativement, nous pouvons voir les

composantes comme les coordonnées de temps et d'espace de la surface, au moins

localement!

Nous voulons maintenant calculer la surface d'un élément de n'importe quel-type d'espace au

même type que nous l'avions fait pour l'abscisse curviligne de n'importe quelle ligne d'Univers

dans le chapitre de Relativité Générale. Se pose alors la question de la forme de l'élément

différentiel de surface ??? Faut-il prendre la multiplication du différentiel des deux paramètres

choisis précédemment pour un carré, un rectangle, un cercle ou autre ?

Au fait, nous allons reporter notre choix sur un parallélogramme ! Ce choix peut sembler

complètement arbitraire pour l'instant mais comme nous allons le voir quelques lignes plus

loin, ce choix coïncide pour des raisons mathématiques à ce que nous appelons la "métrique

induite" de la surface elle-même (résultat assez remarquable!).

Ainsi, notons et les côtés du parallélogramme. Ils sont l'image par des

couples et respectivement :

(52.14)

Ainsi, nous pouvons écrire :

(52.15)

et donc :

(52.16)

Maintenant calculons la surface dA (nous ne prendrons pas la lettre S pour éviter la confusion

avec l'action dans ce chapitre) du parallélogramme (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

(52.17)

en utilisant le produit scalaire, cela peut se récrire :

(52.18)

en utilisant, les relations établies précédemment cela peut s'écrire :

(52.19)

cette dernière relation est forme générale d'un élément de surface d'une nappe paramétrée. La

surface totale étant évidemment donnée par :

(52.20)

Au même titre que dans le cadre du principe de moindre action nous avons cherché l'optimum

du chemin optimum pour une particule parcourant une ligne d'Univers, pour une corde, nous

aurons à optimiser la surface Aen minimisant la fonction .

Cette dernière forme est cependant un peu lourde et ne faire ressortir de particulier ou de

choses similaires à quelque forme déjà connue dans un autre domaine de la physique. Nous

allons voir qu'en creusant un peu il est possible d'obtenir quelque chose de pas mal du tout.

Considérons maintenant un vecteur et sa longueur (norme) au carré donnée par son produit

scalaire :

(52.21)

Attention à l'avenir de ne pas "voir" le s comme étant au carré dans le ds (comme c'est le cas en

relativité restreinte et générale) mais rappelez-vous bien qu'il s'agit du ds en entier qui est mis

au carré (la notation peut amener à confusion...).

Le vecteur peut être exprimé sous forme de termes de dérivées partielles de , tel

que nous obtenions sa différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral)

:

(52.22)

Ainsi, la longueur au carré de peut s'exprimer sous la forme tensorielle :

(52.23)

ce que nous noterons par convention à l'avenir :

(52.24)

La quantité est appelée la "métrique induite de la surface paramétrée" (car contient un

produit scalaire ce qui en toute généralité fait appel à une métrique... d'où le terme "induite") et

il s'agit donc d'une matrice de dimensions . Il est évident que le choix de cette

dénomination provient de la ressemblance avec la métrique habituelle telle que nous l'avons

définie lors de notre étude du calcul tensoriel et de son utilisation en relativité restreinte et

générale.

La matrice à donc par construction et définition la forme :

(52.25)

Revenons maintenant à notre expression de la surface engendrée par la corde :

(52.26)

et calculons rapidement le déterminant (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) de la matrice :

(52.27)

et donc quoi ? Eh ben voilà :

(52.28)

Ainsi, le choix du parallélogramme comme surface élémentaire s'explique mieux ici!

Maintenant, nous allons adopter les écritures traditionnelles de la théorie des cordes

relativement à l'expression de la surface. Ainsi, au même titre que les coordonnées d'espace-

temps sont décrites en relativité restreinte par le quadrivecteur temps-espace:

(52.29)

nous décrirons les surfaces d'Univers par (nous passons maintenant à l'écriture faisant usage

des 4 dimensions de l'espace-temps):

(52.30)

Cette notation nous évitera à l'avenir d'avoir à confondre, si la théorie nous y amène, les

coordonnes d'espace-temps traditionnelles avec la fonction image de la surface

d'Univers et ce d'autant plus que les physiciens étant un peu flemmard abrègent

parfois cette dernière ... d'où le choix de la majuscule.

Il est donc beaucoup plus convenable et sage de changer de notation...

A partir de maintenant, nous appellerons "coordonnées de corde" la surface d'Univers décrite

par .

Ce petit changement de notation ne change évidemment pas l'interprétation de la fonction

image. Etant donnée un couple associant élément de temps propre dans l'ensemble et

élément de surface des pré-images, ce point est projeté sur un élément de surface de l'espace-

temps de la corde de coordonnées:

(52.31)

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