Notes sur l'équation de Dirac libre classique - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation de Dirac libre classique - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'équation de Dirac libre classique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la description complète de l'état de l'électron, les équations d'onde, les résultats, les équations ...
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ÉQUATION DE DIRAC LIBRE CLASSIQUE

Jusqu'à présent, toute particule a été considérée comme ponctuelle et sans aucune structure ou

degré de liberté interne. Dans cette optique, toute l'information sur l'état du système à

l'instant t est alors réputée entièrement contenue dans la connaissance de la fonction

d'onde .

Une telle description est insuffisante, comme nous allons le voir. Cette insuffisance provient des

preuves expérimentales démontrant qu'une particule telle que l'électron possède un moment

magnétique propre, indépendamment de tout mouvement de rotation dans l'espace autour d'un

centre. L'existence de ce moment magnétique entraîne à son tour l'existence d'un moment

cinétique propre, ou intrinsèque, qui a été baptisé "spin" car on croyait au début que ce degré

de liberté était lié à une rotation de la particule sur elle-même. Ce degré de liberté est "interne"

- bien que l'électron continue à être considéré comme une particule ponctuelle ; c'est, au même

titre que la charge ou la masse, un attribut intrinsèque, donné une fois pour toutes. Il s'avère

impossible de donner du spin une image classique! Se représenter l'électron comme une petite

bille de rayon non-nul qui tourne sur elle-même conduit à des absurdités (par exemple, on

trouve qu'un point situé à la périphérie de l'électron a une vitesse très supérieur à c). Il reste

cependant que le spin d'une particule massique est son moment cinétique dans le référentiel où

elle est au repos. L'hypothèse du spin de l'électron a été formulée par Uhlenbeck et Goudsmit

en 1925 pour rendre compte des atomes complexes comme nous l'avons vu en physique

quantique corpusculaire.

Le spin d'une particule est toujours demi-entier ou entier, c'est un fait d'expérience. Le

caractère entier ou demi-entier du spin définit deux grandes de particules, les bosons (spin

entier) et les fermions (spin demi-entier), obéissant à des statistiques très différentes telles que

celles que nous avons présentées dans le chapitre de Mécanique Statistique (d'où l'existence

d'une relation appelée "théorème spin-statistique").

Revenons au cas de l'électron. Les deux valeurs possibles révélées par une mesure

de S (le que nous avions en physique quantique corpusculaire) sont donc (cf. chapitre

de Physique Quantique Ondulatoire) associée aux deux valeurs possibles d'un nombre

quantique lui même associé donc à l'état libre ( ) au moment cinétique :

(43.70)

Donc :

(43.71)

Une description complète de l'état de l'électron contient donc nécessairement une fonction

d'onde donnant comme d'habitude la densité de probabilité de présence, mais prenant

également en compte le degré de liberté du spin, d'où la notation . Si les

coordonnées d'espace prennent des valeurs réelles continues, en revanche la variable de spin

est donc essentiellement discrète.

En maintenant l'interprétation usuelle, la quantité est la probabilité de

présence autour du point choisi avec la valeur pour le spin. La condition de normalisation

des probabilités introduit comme toujours une sommation, qui porte non seulement sur les

degrés orbitaux (sommation continue, c'est-à-dire intégration) mais également sur les degrés

de spin (sommation discrète) :

(43.72)

exprimant notamment le fait que nous épuisons toutes les possibilités du spin en sommant sur

les deux valeurs possibles. En tout état de cause, l'électron n'a plus une mais deux fonctions

d'onde, une pour chaque valeur de .

La notation précédente n'est pas forcément la meilleure pour les particules libres de spin

supérieur à 1/2 comme nous l'avons vu lors de notre étude du moment cinétique. S'agissant

d'une variable prenant des valeurs discrètes, il est tout aussi légitime de mettre en indice et

de poser . Enfin, il est commode d'utiliser une notation matricielle, rangeant en

colonne les différentes fonctions correspondant aux valeurs possibles de la variable discrète

. Ainsi, pour l'électron, nous admettrons désormais que toute l'information au sens de la

physique quantique ondulatoire est contenue dans un vecteur-colonne à deux lignes appelé

"spineur" (cf. chapitre de Calcul Spinoriel) et noté :

ou (43.73)

Revenons maintenant sur l'équation de Klein-Gordon libre (plus générale que l'équation de

Schrödinger bien évidemment mais moins que celle comportant le champ magnétique) :

(43.74)

Cette équation est comme nous le savons malheureusement incomplète car elle ne contient

aucune information sur le spin de l'électron.

Nous pouvons cependant, pour tenter de trouver une solution à ce problème, faire un parallèle

avec le champ électromagnétique. Celui-ci comporte aussi un spin, résidant dans la

polarisation du champ (cf. chapitre d'Électrodynamique). Cette polarisation est étroitement liée

à la nature vectorielle du champ électromagnétique et transparaît dans les équations de

Maxwell, qui sont du premier ordre en dérivées. Cependant en combinant les équations de

Maxwell, nous avons vu dans le chapitre d'Électrodynamique que nous pouvions obtenir les

équations d'onde :

et (43.75)

qui sont (coïncidence très pertinente!) un cas particulier de l'équation de Klein-Gordon

quand :

(43.76)

Les équations d'onde recèlent cependant moins d'informations que les équations de Maxwell

originales : elles ne contiennent explicitement aucune relation entre les différentes

composantes des champs et , comme par exemple le fait que, dans une onde

électromagnétique de vecteur d'onde donné, les champs et sont mutuellement

perpendiculaires et tous les deux perpendiculaire au vecteur d'onde. Pour établir ces

contraintes, il faut retourner aux équations de Maxwell et donc à des équations avec des

dérivées du premier ordre.

Il en est de même pour les fermions (les électrons en font partie). L'équation de Klein-Gordon,

quoiqu'elle ne soit pas fausse, est incomplète. Il faut tenter ici d'établir une équation du

premier ordre en dérivées qui décrive bien le spin 1/2 des électrons des fermions. Cette

dernière condition signifie que cette équation doit donc faire intervenir les deux composantes

d'un spineur (en analogie avec celui que nous nous déterminé plus haut) :

(43.77)

Nous écrirons alors cette équation que nous cherchons comme :

(43.78)

où D est une matrice faisant intervenir des dérivées du premier ordre (un opérateur

différentiel de premier ordre).

Pour donner un exemple avant d'aller plus loin, regardons comment l'équation de Klein-Gordon

peut s'exprimer sous une telle forme.

Nous avons donc (équation de Klein-Gordon libre) :

(43.79)

ou (équation de Klein-Gordon généralisée) :

(43.80)

Ce qui s'écrit aussi pour l'équation de Klein-Gordon libre :

(43.81)

ou pour l'équation de Klein-Gordon généralisée :

(43.82)

Restreignons-nous maintenant au cas de l'équation de Klein-Gordon libre (le raisonnement

étant similaire pour la version généralisée).

La dernière expression de l'équation de Klein-Gordon libre suggère d'introduire les deux

combinaisons :

(43.83)

d'où résulte :

(43.84)

Dès lors :

peut s'écrire de deux façons :

(43.85)

Soit, sous forme matricielle :

(43.86)

ou encore :

(43.87)

Ce que nous pouvons écrire:

(43.88)

Donc par rapport à notre idée initiale d'avoir une relation sous la forme:

(43.89)

nous pouvons faire la similitude avec l'équation antéprécédente:

et (43.90)

où D est bien un matrice .

Mais nous, nous recherchons toujours (en faisant le parallèle avec les équations de Maxwell) un

système d'équation avec des différentielles du premier ordre. Dans l'objectif de chercher une

forme plus générale incluant sous forme naturelle le spin, nous allons poser en analogie avec le

résultat ci-dessus :

(43.91)

où A est un scalaire, un vecteur et un matrice symétrique (en lisant la suite vous

verrez que poser cela permet de trouver ce que nous cherchons...).

Rappelons que la multiplication entre et constitue un produit scalaire tel que celui défini

dans notre étude du chapitre de Calcul Spinoriel.

Remarque: Il faut être très prudent dans les développements qui vont suivre car les notations

traditionnelles dans le domaine rendent très difficiles les distinctions entre produit, produit

scalaire, et produit de composantes de vecteurs formant un vecteur.

Posons (au fait nos prédécesseurs ont fait de nombreux essais avant de poser cela...):

(43.92)

Ainsi, , et reste (imaginons...) inconnu. Il nous faut également

déterminer .

Toujours par analogie avec l'exemple fait plus haut, tentons de retrouver l'équation d'onde pour

déterminer la constante :

(43.93)

Pour que nous retrouvions l'équation d'onde il faut que :

1.

Effectivement:

(43.94)

2. :

(43.95)

Il y a donc deux possibilités qui peuvent s'appliquer à des champs différents que nous

noterons . Nous avons donc une sorte de double spineur tel que :

(43.96)

Ces équations sont appelées "équations de Weyl".

Il nous faut maintenant généraliser les équations de Weyl au cas d'un fermion de spin demi-

entier avec masse. Cette nouvelle équation doit respecter les contraintes suivantes :

C1. Elle doit se réduire aux équations de Weyl quand la masse tend vers zéro

C2. Elle doit mener à l'équation de Klein-Gordon libre

C3. Elle doit décrire des particules possédant un spin

La solution consiste alors à coupler les deux équations de Weyl par un terme proportionnel à la

masse :

(43.97)

Pour vérifier que les facteurs ont été correctement choisis, nous appliquons sur la

première équation et nous y substituons la deuxième. Nous trouvons :

(43.98)

ou encore :

(43.99)

à comparer avec :

(43.100)

Ce qui est bel et bien l'équation de Klein-Gordon libre (nous démontrons la même

correspondance pour la composante ) et renforce donc la validité des hypothèses et

développements faits jusqu'à maintenant.

Il est usuel de rassembler les deux spineurs dans un seul spineur (cela devient alors un "bi-

spineur") de quatre composantes (un spineur à quatre composantes dont deux sont en fait

associées aux particules et deux antiparticules comme nous allons le verrons) :

(43.101)

et de définir les deux matrices suivantes (sous une forme dite "forme chirale") :

(43.102)

où est la matrice unité traditionnelle définie par :

(43.103)

et:

(43.104)

où les sont les "matrices de Pauli" données par (cf. chapitre de Calcul Spinoriel) :

(43.105)

qui doivent satisfaire rappelons-le (démontré plus haut):

(43.106)

Les matrices de Pauli sont donc de bonnes candidates pour résoudre notre problème!

Remarques:

R1. Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Spinoriel (section d'Algèbre), n'est pas

vraiment une matrice de Pauli en soi. Cependant, dans certains ouvrages elle est indiquée comme

en étant une (c'est aussi notre choix ici).

R2. Comme nous l'avons également vu dans le chapitre de Calcul Spinoriel, rappelons que les

matrices de Pauli représentent implicitement des rotations spatiales infinitésimales d'un spineur.

Ceci nous permet, enfin, de combiner les équations :

(43.107)

en une seule (ne pas oublier l'association des opérateurs ) :

(43.108)

en utilisant la notation d'usage en calcul tensoriel et en choisissant les unités

naturelles nous avons :

(43.109)

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