Notes sur l'équation de DIrac libre classique - 2° partie, Notes de Physiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation de DIrac libre classique - 2° partie, Notes de Physiques

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Notes de physique sur l'équation de DIrac libre classique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la forme habituelle de "l'équation de Dirac", la représentation de Dirac.
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ce qui constitue la forme habituelle de "l'équation de Dirac" ou "équation relativiste de

l'électron" avec la "dérivée covariante":

(43.110)

Remarque: En physique des particules élémentaires, la relation antéprécédente est appelée

"équation relativiste covariante des fermions" car elle décrit les particules de spin 1/2.

Les matrices sont appelées "matrices de Dirac". Sous forme encore plus condensée (en

utilisant le "slash de Feynam") l'équation de Dirac s'écrit parfois :

(43.111)

Nous avons ainsi, comme en analogie avec les équations de Maxwell, des équations

différentielles du premier ordre qui ont comme propriété :

P1. De permettre de retomber sur l'équation de Klein-Gordon, in extenso sur l'équation d'onde

(comme pour les équations de Maxwell)

P2. De prendre en compte (décrire) explicitement le caractère spinoriel des fonctions d'onde

comme nous allons le voir en nous penchant de plus près sur les matrices de Pauli.

Remarque: Comme l'équation de Dirac s'applique aux particules de spin 1/2 elle s'applique aussi

aux neutrinos dont la masse au repos est nulle (donc la résolution de l'équation de Dirac se

simplifie largement).

Dans le but maintenant d'interpréter le contenu physique de l'équation de Dirac, nous allons

utiliser une représentation différente des matrices de Pauli. Nous avons vu que la

représentation :

(43.112)

était dite "représentation Chirale" alors que nous allons utiliser maintenant la "représentation de

Dirac" définie par :

(43.113)

Nous vérifions facilement (algèbre linéaire élémentaire) que cette représentation s'obtient par la

transformation (n'hésitez pas à nous demander les détails si vous n'y arrivez pas):

où (43.114)

Rappelons que est la matrice adjointe (la conjuguée de la matrice transposée) de U. Or,

lorsque tous les éléments sont des réels comme c'est le cas ci-dessus et que la matrice est

carré alors (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) nous savons que .

Démonstration:

(43.115)

et:

(43.116)

Cherchons maintenant les solutions particulières à l'équation de Dirac sous la forme :

(43.117)

En substituant dans l'équation de Dirac et après simplification par nous trouvons

facilement:

(43.118)

Effectivement en unités naturelles:

(43.119)

Avec la représentation de Dirac nous obtenons après développement (calcul trivial) :

(43.120)

Effectivement:

(43.121)

Pour que cette équation matricielle ait des solutions non nulles, il faut comme d'habitude que le

déterminant de la matrice soit nul (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire). Nous vérifions facilement

que :

(43.122)

Ce qui implique (ne pas oublier que nous sommes en unités naturelles!):

(43.123)

Avec la représentation de Chirale nous aurions obtenus:

(43.

124)

et nous ne serions pas tombés sur une condition aussi esthétique et physique pour qu'il y ait

des solutions!

La masse étant toujours positive, l'équation de Dirac comporte donc quatre solutions

linéairement indépendantes, dont deux avec une énergie positive et deux

avec une énergie négative .

Il s'agit donc bien des antiparticules que nous avions déterminées lors de notre étude de

l'équation de Klein-Gordon libre mais avec le spin en plus d'où le doublage des solutions

supplémentaires (deux orientations du spin possibles par particule et par antiparticule). Avec la

représentation Chirale nous ne serions pas retombés sur ce résultat. D'où la nécessité de

l'utilisation de la représentation de Dirac des matrices de Pauli.

Nous savons donc qu'il existe des solutions à l'équation de Dirac. Déterminons maintenant

celles-ci. Posons :

(43.125)

où sont les deux doubles composantes du spineur. Nous écrivons ainsi le système

d'équations :

(43.126)

ce qui nous donne:

et (43.127)

Ainsi, nous avons :

(43.128)

Nous savons qu'il existe des solutions et la physique quantique nous impose que ses solutions

soient linéairement indépendantes. Ainsi, choisissons les solutions pour comme étant

proportionnelles à :

ou (43.129)

et comme (cf. chapitre de Calcul Spinoriel):

(43.130)

nous avons alors les possibilités suivantes :

(43.131)

La question est maintenant... devons-nous utiliser ou ? Eh

bien, pour (1) et (2) nous devons utiliser sinon devient une singularité

pour . Pour (3) et (4) nous devons utiliser sinon devient une

singularité pour .

Remarque: Le terme est souvent appelé "solution particule" dans la littérature et le

terme "solution antiparticule".

En reprenant

(43.132)

et en notant les spineurs (nous changeons de notation) :

(43.133)

Nous avons finalement en utilisant (1) et (2) et en notant N( ) la partie de solution que nous

devrions normaliser les solutions suivantes possible et qui sont indépendantes:

(43.134)

avec ainsi que :

(43.135)

avec .

Ce qui peut s'abréger :

(43.136)

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