Notes sur l'équation de Dirac libre linéarisée - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation de Dirac libre linéarisée - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'équation de Dirac libre linéarisée - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La méthode de Dirac, le développement, Les matrices considérées par Dirac, les conditions.
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ÉQUATION DE DIRAC LIBRE LINÉARISÉE

Nous avons vu tout au début de notre étude la physique quantique ondulatoire que l'équation

de Schrödinger classique d'évolution était :

(43.137)

soit une équation différentielle d'un premier ordre par rapport au temps et du second par

rapport aux coordonnées spatiales.

Nous avions ensuite déterminé l'équation d'évolution relativiste de Schrödinger (équation de

Klein-Gordon libre) donnée par :

(43.138)

Nous remarquons qu'en passant à une forme relativiste nous avons maintenant une équation

différentielle du second ordre dans le temps et dans l'espace.

Ensuite en passant par l'équation de Klein-Gordon généralisée contenait également une

équation différentielle du second ordre en temps et en espace :

(43.139)

et dans l'équation de Dirac libre, nous obtenons de même une équation différentielle matricielle

de premier ordre en temps et de deuxième ordre en espace :

(43.140)

Ces changements d'ordre des différentielles d'un modèle relativiste ou non impose bien sûr

dans le cas d'un premier ordre de connaître les conditions initiales en temps et en espace de

l'équation d'onde, ce qui est faisable. Cependant, lorsqu'un second ordre apparaît, il faut alors

en plus connaître les conditions initiales des dérivées des fonctions d'onde (cf. chapitre de

Calcul Différentiel Et Intégral). De plus, même si mathématiquement la rigueur nous a amené

naturellement aux différents ordres obtenus, il est étrange en passant d'un modèle relativiste

que nous changions d'ordre. Pourquoi ? : pour la simple raison qu'en approximant les équations

relativistes, nous n'arrivons pas avec le facteur de la constante de Planck à faire des

approximations (développement en série de ) qui nous ramèneraient à du premier ordre.

Les équations relativistes et non relativistes sont donc à priori incompatibles dans les limites

non relativistes !

La méthode de Dirac pour résoudre ce problème aura été la suivante :

Les ordres de l'équation différentielle de Klein-Gordon venant à la base de la relation (voir les

débuts de nos développements de l'équation de Klein-Gordon libre) de l'énergie totale en

l'absence de tout champ :

(43.141)

Dirac à donc l'idée géniale de linéariser cet hamiltonien en posant :

(43.142)

dont nous devrons déterminer les paramètres qui pourront être des scalaires,

des vecteurs ou des matrices (attendons un peu... la réponse viendra).

Ainsi, l'équation d'onde d'évolution relativiste la plus simple que nous pourrons construire sera

:

(43.143)

Sous une forme beaucoup plus commune dans la littérature :

(43.144)

Comme ici :

(43.145)

nous retrouvons alors au la relation antéprécédente aussi sous la forme :

(43.146)

Si la quantité de mouvement venait à être nulle, nous retrouverions ainsi l'énergie au repos

pour l'hamiltonien :

(43.147)

où comme nous allons le voir plus loin .

La validité de cette linéarisation devra être vérifiée en retrouvant les résultats obtenus lors de

notre étude précédente de l'équation de Dirac.

Elevons maintenant l'opérateur au carré soit :

(43.148)

et posons :

(43.149)

A ce stade, il est important de remarquer que nous travaillons peut-être avec des opérateurs

(des matrices typiquement) qui pourraient ne pas commuter car les sont inconnus. Dès

lors, l'élévation au carré sera effectuée comme suit :

(43.150)

Nous développons ainsi le hamiltonien de Dirac

(43.151)

En effectuant les produits des termes entre parenthèses et en respectant l'ordre des opérateurs,

il vient :

(43.152)

En groupant certains termes :

(43.153)

Pour être conforme à nos hypothèses de linéarisation, nous devons avoir :

(43.154)

Ecrit sous forme de commutateurs, nous avons les trois conditions suivantes à satisfaire :

(43.155)

Nous observons ce qui suit :

- Le carré de chaque opérateur et est égal à 1 (ou à la matrice unitaire s'il s'agit de

matrice...).

- est un anti-commutateur.

- est un anti-commutateur.

ces trois relations peuvent se résumer comme suit :

(43.156)

A ce stade, nous devons rechercher quels sont les objets mathématiques répondant au trois

conditions ci-dessus. Nous pourrions montrer qu'une matrice carrée de dimension 2 ou 3 ne

répond pas aux trois conditions et un scalaire encore moins!

Dirac a alors adopté par analogie aux développements antérieurs, des matrices carrées de

dimension 4 incluant des matrices de Pauli (comme par hasard...) et a admis pour une

matrice unité (ce choix fait par Dirac est particulier, il y a d'autres choix possibles).

Donc ce que nous notions "1" avant est au fait une matrice unitaire carrée de dimension 4!

Les matrices considérées par Dirac sont donc pour :

(43.157)

Dans lesquelles, nous avons les matrices de Pauli et la matrice unitaire suivantes:

(43.158)

Ce qui conduit aux matrices :

(43.159)

On peut vérifier que les conditions de linéarisation sont vérifiées par les matrices précédentes :

- Première condition :

(43.160)

De même pour les :

(43.161)

La première condition est donc bien remplie!

- Deuxième condition (attention aux notations qui dérapent un peu par tradition entre matrices

et scalaires!):

(43.162)

et :

(43.163)

Donc:

(43.164)

la deuxième condition est bien remplie.

- Troisième condition :

(43.16

5)

La troisième condition est bien remplie.

En se référant à l'équation de début écrite avec le formalisme de Dirac

(43.166)

Avec :

(43.16

7)

Ce qui donne finalement :

(43.168)

Nous nous retrouvons devant une fonction d'état possédant 4 composantes dans laquelle :

et (43.169)

sont des spineurs et l'ensemble :

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