Notes sur  l'équation de Dirac libre linéarisée - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation de Dirac libre linéarisée - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'équation de Dirac libre linéarisée - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la "fonction d'état de Dirac", Les valeurs de l'énergie données par l'équation de Dirac, l'équation...
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(43.170)

est donc un "bispineur de Dirac" et nous notons :

(43.171)

la "fonction d'état de Dirac". Le lecteur remarquera que nous retrouvons les mêmes concepts

que lors de notre étude de l'équation de Dirac libre non linéarisée.

En développant, il vient :

(1)

(43.172)

Pour un électron libre, nous savons que la solution est :

(43.173)

Avec le bispineur de Dirac, nous avons :

(43.174)

avec :

(43.175)

avec à sont les composantes du bispineur de Dirac.

Nous noterons :

avec (2)

(43.176)

En calculant leurs dérivées par rapport à t:

(3)

(43.177)

Avec (2) et (3) dans (1), il vient

(43.178)

Soit un système d'équations dont les inconnues sont :

(4)

(43.179)

Nous aurons des solutions non toutes nulles si et seulement si le déterminant des coefficients

est nul (pour en connaître les raisons, voir le chapitre d'Algèbre Linéaire) et donc une infinité de

solutions (pour les composantes du spineur de Dirac) possibles. Soit :

(43.180)

En simplifiant par c:

(43.181)

La division dans le déterminant précédent permet le calcul des déterminants partiels (cf.

chapitre d'Algèbre Linéaire) :

(43.182)

En résolvant le déterminant précédent, il vient :

(43.183)

D'où la relation suivante :

(43.184)

Les valeurs de l'énergie données par l'équation de Dirac sont donc :

(43.185)

Soit :

(43.186)

Si nous adoptons pour , deux valeurs constantes pour et , nous disposons de deux

relations pour calculer et soit :

- Avec (4c) :

(43.187)

Soit :

(43.188)

- Avec (4d) :

(43.189)

Soit :

(43.190)

N.B : En adoptant , il vient :

(43.191)

En prenant les unités naturelles :

(43.192)

En adoptant , il vient :

(43.193)

En prenant les unités naturelles :

(43.194)

Si nous adoptons pour , deux valeurs constantes pour nous disposons de deux

relations pour calculer soit :

- Avec (4a) :

(43.195)

Soit :

(43.196)

- Avec (4b) :

(43.197)

Soit :

(43.198)

Notons, qu'en adoptant , il vient :

(43.199)

Avec les unités naturelles :

(43.200)

En adoptant , il vient :

(43.201)

Soit avec les unités naturelles :

(43.202)

Bien que la méthode soit différente, nous retrouvons donc les coefficients des spineurs que

nous avions obtenus dans notre étude de l'équation de Dirac libre classique. Cela nous rassure

donc dans les hypothèses posées au début de cette linéarisation et valide ces résultats. De plus,

les relations précédentes indiquent aussi une dégénérescence d'ordre deux de l'énergie pour

chaque valeur de l'impulsion. En l'absence de champ extérieur, l'électron libre n'est donc pas

influencé par l'orientation de son spin. Nous retrouvons donc les mêmes résultats que ce soit

pour l'équation de Dirac libre classique ou linéarisée.

Cependant, l'explication donnée par Dirac pour expliquer les énergies positives et négatives est

que son équation s'applique non seulement à l'état d'une particule à énergie positive (en

l'occurrence l'électron) mais également à l'état d'une particule à énergie négative (son

antiparticule soit le positron). La valeur absolue de ces deux énergies étant strictement égales.

La présence du signe négatif affectant l'énergie à posé problème à l'époque pour son

interprétation (dans le cadre où nous omettons la variable du temps puisque nous avions vu

lors de l'étude de l'équation de Klein-Gordon libre qu'une particule à énergie négative peut être

vue comme une particule qui remonte le temps).

Si nous raisonnons dans le cas où le terme est faible comparé à , nous nous posons

la question : comment et quels sont les conséquences d'une transition entre un état

d'énergie à celui de l'état d'énergie avec un saut ("gap") de (nous

retrouverons cette valeur lors de notre étude de la matérialisation dans le chapitre de Physique

Nucléaire).

Dirac a recours à l'image d'une mer d'énergie négative (puisque rappelons-le, le nombre de

solutions à notre système matriciel est infini, d'où l'analogie avec une mer plus qu'un contexte

discret) dans laquelle tous les états d'énergie négatives sont occupés par les électrons et les

états d'énergie positives seraient vides. Si un électron est soumis à une transition (via, par

exemple un photon d'énergie supérieure à ), il quitte cette mer en laissant derrière lui

une lacune (le fameux "trou" de charge positive auquel les électroniciens font parfois

référence....). Cette lacune devient une charge positive, d'énergie . L'apparition de cette

lacune est assimilée à l'apparition d'une particule ayant une charge positive. Bien évidemment,

nous pouvons nous imaginer le cas inverse, ce n'est qu'une question de conventions.

ÉQUATION DE DIRAC GÉNERALISÉE

Dans le cas de l'électron libre, nous avons donc maintes fois vus et démontrés que l'hamiltonien

a comme expression

(43.203)

Dans le cas d'un électron se déplaçant dans un champ électromagnétique, nous avons aussi

démontré lors de notre étude de l'équation de Klein-Gordon au début de ce chapitre:

(43.204)

Soit :

(43.205)

Bref fini pour le rappel!

Si maintenant, nous reprenons l'hamiltonien de Dirac pour l'électron libre démontré plus haut:

(43.206)

En tenant du fait que nous avions démontré plus haut que dans le cas particulier d'une particule

plongée dans un champs magnétique et un potentiel électrostatique nous avions:

(43.207)

avec:

(43.208)

et du fait qu'il faille rajouter à l'hamiltonien le terme de l'énergie potentielle électrostatique:

(43.209)

Nous obtenons alors l'hamiltonien de Dirac généralisé :

(43.210)

Nous avons donc sous une autre forme connue:

(43.211)

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