Notes sur l'équation de Klein-Gordon généralisée - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation de Klein-Gordon généralisée - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'équation de Klein-Gordon généralisée - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L'équation classique du mouvement admise, L'hamiltonien classique, l'équation de Klein-Gordon gén...
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ÉQUATION DE KLEIN-GORDON GÉNÉRALISÉE

L'équation de Klein-Gordon libre que nous avons initialement présentée plus haut ne prend pas

en compte l'influence du champ magnétique sur l'observation du dédoublement des raies du

spectre des atomes (constat expérimental). C'est pour cette raison que Klein et Gordon

intégrèrent dans leur équation le champ magnétique. Cependant, ils le firent sans prendre en

compte le spin de l'électron. C'est seulement après leur travail que Pauli développa son

équation (dite "équation de Pauli") qui amena ensuite à l'équation de Dirac (voir plus loin).

Pour déterminer l'expression de l'équation de Klein-Gordon d'une particule chargée dans un

champ magnétique et un potentiel électrostatique, utilisons la puissance du formalise

Lagrangien :

L'équation classique du mouvement admise (cf. chapitre de Mécanique Analytique), comme

valable aussi en relativité, est donnée nous le savons par (équation d'Euler-Lagrange) :

(43.21)

Dans le chapitre de Relativité Restreinte, nous avons vu que le lagrangien d'une particule libre a

pour expression :

avec (43.22)

et dans le chapitre d'Électrodynamique que le lagrangien total était :

(43.23)

Pour des besoins ultérieurs, commençons par calculer :

(43.24)

Calculons le premier terme :

(43.25)

Comme le potentiel ne dépend pas de la vitesse, le terme est nul.

Le potentiel vecteur ne dépend pas de la vitesse de la particule dès lors :

(43.26)

Il vient dans ce cas:

(43.27)

L'hamiltonien classique s'écrit (cf. chapitre de Mécanique Analytique) :

(43.28)

Nous avons donc démontré précédemment que :

(43.29)

Nous pouvons donc écrire avec cette relation l'hamiltonien sous la forme :

(43.30)

Le produit scalaire a pour expression (puisqu'ils sont colinéaires) :

(43.31)

L'hamiltonien s'écrit alors :

(43.32)

En travaillant sur les deux premiers termes :

(43.33)

Or :

(43.34)

Dès lors :

(43.35)

Finalement, nous obtenons (pour un système conservatif) :

(43.36)

Toujours dans le cas d'une particule se déplaçant dans un champ électromagnétique, la relation

entre l'énergie et l'impulsion (qui est différente de la quantité de mouvement par la présence

d'un terme comprenant le potentiel vecteur) se calcule comme suit:

Nous connaissons la relation relativiste suivante :

(43.37)

Comme :

(43.38)

alors en substituant et en passant un terme de l'autre côté de l'égalité la relation précédente

devient (nous changeons de notation pour l'hamiltonien):

(43.39)

Si nous récrivons cette relation en faisant usage des opérateurs correspondants (cf. chapitre de

Physique Quantique Ondulatoire) de l'énergie et de la quantité de mouvement (quantification

canonique):

et (43.40)

Alors finalement nous pouvons écrire en analogie avec l'équation de Klein-Gordon libre (en

l'absence de champ) "l'équation de Klein-Gordon généralisée":

(43.41)

Cette équation est celle de Klein-Gordon qui s'applique à une particule de charge q sans spin se

déplaçant dans un champ électromagnétique.

Si alors la relation précédente s'écrit :

(43.42)

Nous retrouvons donc l'équation de Klein-Gordon d'une particule libre mais sans spin !

Il serait intéressant de regarder maintenant l'expression de l'équation de continuité (qui

exprime rappelons-le : la conservation de l'énergie) avec la prise en compte du champ

magnétique (parce que au fait elle posera toujours problème... et même un très gros). Pour

cela, considérons le cas d'une particule libre se déplaçant avec une quantité de

mouvement et ayant une énergie E. Nous avons vu que nous pouvions lui associer une onde

plane de la forme :

(43.43)

Soit l'équation Klein-Gordon libre et son expression en conjugué complexe (nous travaillons

avec les unités naturelles )

(43.44)

Nous multiplions (1) par et (b) par

(43.45)

Soit :

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