Notes sur l'équation de Laplace, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation de Laplace, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'équation de Laplace. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation de Laplace, les coefficients thermoelastiques.
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Nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus avec le théorème du Viriel

que l'énergie interne (énergie cinétique) d'un gaz parfait monoatomique était donnée par:

(33.58)

Nous avons donc:

(33.59)

Si le processus est à volume constant, nous supposerons qu'il n'y aucun travail mécanique fourni

(collisions inélastiques sur les parois) et alors (nous utilisons les différentielles exactes parce que

nous supposons que la seule variable thermodynamique est la température!):

(33.60)

donc où dW est nul!

Il vient alors:

(33.61)

d'où pour une mole:

(33.62)

de sorte que nous pouvons écrire pour un gaz monoatomique parfait à volume constant:

(33.63)

Si le processus à lieu à pression constante (énergie cinétique constante des atomes du gaz) alors

nous avons (voir théorème du Viriel):

(33.64)

(les collisions qui repoussent la paroi du volume font perdre de l'énergie au système d'où le signe "-

").

Ainsi:

(33.65)

Ainsi:

(33.66)

d'où pour une mole:

(33.67)

Des deux résultats précédents, nous obtenons pour un gaz parfait monatomique:

(33.68)

avec la "relation de Mayer":

(33.69)

Si le gaz parfait est diatomique, il y a 5 degrés de liberté (3 pour la position du premier atome +3

pour la position du deuxième -1 pour la contrainte que la distance entre les deux est fixée) et nous

avons alors:

(33.70)

En faisant les mêmes développements nous obtenons (valeur qui nous utiliserons dans le chapitre de

Musique Mathématique mais qui est utile dans de nombreux autres domaines):

(33.71)

Quand un système isolé de gaz parfait subit une transformation adiabatique à pression constante, la

variation d'énergie interne du système sera soutirée par la variation de travail interne. Ce qui

traditionnellement se note par un signe négatif tel que (en utilisant le résultat obtenu plus haut):

(33.72)

Soit:

(33.73)

Prenons maintenant l'équation des gaz parfaits (sans collisions) et différencions. Nous

obtenons:

(33.74)

Soit en éliminant dT entre les deux dernières relations, nous obtenons:

(33.75)

Soit après simplification et réarrangement des termes:

(33.76)

ce qui rapporté aux quantités de moles s'écrit (selon l'habitude des chimistes):

(33.77)

bref... et en nous rappelant que:

(33.78)

Nous avons:

(33.79)

En utilisant la définition du "coefficient de Laplace", appelé aussi "coefficient adiabatique":

(33.80)

nous avons l'expression:

(33.81)

En remaniant:

(33.82)

Nous obtenons par intégration:

(33.83)

soit:

(33.84)

qui est équivalent en utilisant les propriétés des logarithmes:

(33.85)

Maintenant si nous dérivons par rapport à la variation de volume:

(33.86)

Si nous divisons par la masse:

(33.87)

il s'agit de "l'équation de Laplace" qui donne la relation entre pression et volume dans une

transformation adiabatique d'un gaz (ce qui ne signifie pas que la température est constante

rappelons-le mais seulement que l'échange de chaleur avec le système extérieur est nul ou

négligeable!).

Ainsi nous avons aussi l'information qui peut être utile dans l'industrie:

(33.88)

COEFFICIENTS THERMOELASTIQUES

Si nous différencions V(P,T) nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

(33.89)

ou autrement écrit:

(33.90)

Nous avons introduit de manière naturelle dans le chapitre de Musique Mathématique un coefficient

nommé "coefficient de compressibilité isotherme" :

(33.91)

que nous pouvons réintroduire ici:

(33.92)

De même il serait intéressant d'avoir un autre coefficient pour le premier terme qu'il suffirait de

définir par analogie:

(33.93)

appelé "coefficient de compressibilité isobare".

Ainsi, nous avons:

(33.94)

Soit nous avons le travail mécanique (la différentielle totale est inexacte car nous avons plus d'une

variable d'état) en multipliant par la pression pour avoir les bonnes unités:

(33.95)

Pour une transformation isotherme le premier terme est nul, et pour une transformation isobare,

c'est le second qui est nul.

Les données des coefficients thermoélastiques (mesurés expérimentalement) doivent permettre de

remonter à l'équation d'état par intégration de V(P,T), ce qui est licite, puisque V est une fonction

d'état. Dans le cas du gaz parfait par exemple, nous pouvons écrire par intuition des dimensions des

constantes:

(33.96)

Nous avons donc:

(33.97)

et donc en multipliant par la pression:

(33.98)

Ce qui conduit à:

(33.99)

Soit:

(33.100)

Ce qui donne immédiatement après intégration:

(33.101)

Soit:

(33.102)

Ceci dit, nous avons différencié V pour obtenir deux coefficients à tels que:

(33.103)

Nous pourrions faire de même pour la pression et la température et nous avons alors au total trois

relations:

(33.104)

mais parmi les 6 facteurs que nous voyons dans ces trois relations, quatre sont déjà définis (certains

sont l'inverse des coefficients définis plus haut). Il manque par contre la définition de un seul

coefficient pour les deux facteurs manquants. Nous choisissons celui qui dans la pratique est le plus

souvent utilisé en analogie avec les autres coefficients:

(33.105)

appelé "coefficient d'augmentation de pression isochore".

Nous avons ainsi les trois coefficients très utilisés dans la pratique:

(33.106)

respectivement et dans l'ordre:

1. Coefficient de compressibilité isotherme.

2. Coefficient de compressibilité (ou de dilatation) isobare

3. Coefficient d'augmentation de pression isochore

Nous retrouverons ces coefficients lors de notre étude des mouvements de convections en

météorologie.

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