Notes sur l'équation de Lorenz - 1° partie, Notes de Génie mécanique
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur l'équation de Lorenz - 1° partie, Notes de Génie mécanique

PDF (98.1 KB)
9 pages
538Numéro de visites
Description
Notes de ingénierie sur l'équation de Lorenz - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La "convection libre" ou "convection naturelle", L'équation de continuité, la tenseur des taux de déformation.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 9
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

La "convection libre" ou "convection naturelle" est le régime d'écoulement obtenu lorsque nous

chauffons un fluide sans qu'il n'y ait d'écoulement extérieur imposé. C'est le cas des

mouvements de convections de l'atmosphère (gaz chauds dans gaz froids), des mouvements de

convections de la roche en fusion responsable de la tectonique des plaques, des mouvements

du l'eau chaude sous pression dans les geysers et de bien d'autres phénomènes...

Ces écoulements sont inexplicables si nous ne couplons pas les équations de la dynamique et

de la thermodynamique!

Nous allons dans ce contexte établir le fameux système des équations de Lorenz au prix

cependant de nombreuses approximations et hypothèses afin de simplifier au maximum les

calculs et les outils mathématiques utilisés (car à l'époque du développement du modèle les

ordinateurs n'étaient pas ce qu'ils sont aujourd'hui).

Nous montrerons ainsi dans le cadre de la convection (un des dynamiques importante de notre

atmosphère) que les équations qui déterminent certains paramètres du mouvement sont très

sensibles aux conditions initiales ce qui a pour but de montrer la difficulté de la prévision à

plus ou moins long termes avec des modèles théoriques déterministes (raison pour laquelle en

météorologie il est fait usage de nos jours de la méthode des éléments finis).

A priori, la densité est fonction de la température et de la pression par la loi d'état des gaz

parfaits (cf. chapitre de Mécanique des Fluides). Il est donc naturel de penser que si nous

chauffons une paroi, la température du fluide environnant augmente par diffusion. La

stratification de pression s'en trouve changée, le gradient de pression crée le mouvement.

Dans tous les chapitres du site, nous avons jusqu'à présent négligé toute variation de . Mais

le découplage n'est plus valable ici puisque c'est le chauffage qui provoque le mouvement.

Nous allons donc permettre une variation de la densité avec le chauffage en supposant

cependant que cette perturbation est petite. Il faut donc réintroduire une variation de autour

d'une position d'équilibre: le repos. En revanche la viscosité sera supposée constante.

Soit donc un fluide au repos et à la température au loin, il est en présence d'une paroi

chauffée à la température . Pour obtenir la dépendance de , rappelons les coefficients

thermo-élastiques classiques (cf. chapitre de Thermodynamique):

- Coefficient de compressibilité (ou de dilatation suivant l'écriture en termes de densité)

isobare:

(119)

- Coefficient de compressibilité isotherme:

(120)

En admettant maintenant que la densité est principalement reliée à la température (pour faire

simple) nous pouvons écrire (cette hypothèse marche bien pour les fluides mais pas trop... pour

les gaz!!):

(121)

En utilisant la forme générale du développement de Taylor (cf. chapitre de Suites et Séries):

(122)

Nous avons alors c'est une approche à la façon ingénieur...:

(123)

Soit:

(124)

où est donc un coefficient sans dimensions (comme ...) plus facilement mesurable

expérimentalement.

L'équation de continuité (cf. chapitre de Thermodynamique) ou de bilan de masse:

(125)

devient alors:

(126)

au premier ordre en . De plus, nous avons montré dans le chapitre de Mécanique des Milieux

Continus que si le fluide est incompressible:

(127)

Retenons qu'en première approximation le fluide est incompressible. Il ne reste alors que:

(128)

Comme nous souhaitons étudier un écoulement en présence de gravité, il serait judicieux de

poser:

(129)

et donc de ne s'intéresser qu'aux variations autour de la position d'équilibre hydrostatique (

est sans dimensions!). Nous avons démontré toujours dans le même chapitre de Mécanique

des Milieux continus que dans le cas du fluide incompressible avec viscosité, l'équation d'Euler

de 1ère forme (équation du mouvement):

(130)

Intéressons nous dans un premier temps aux deux termes:

(131)

qui s'écrivent selon l'axe Z :

(132)

Lorsqu'il y a mouvement, la projection suivant Z fait donc apparaître:

(133)

que nous récrivons alors:

(134)

Soit:

(135)

puisque:

(136)

Il vient:

(137)

Il reste donc une force de flottabilité dirigée vers le haut.

La variation de la densité en fonction de la température dans le produit de la relation:

(138)

sera négligée car nous nous restreindrons au cas où la vitesse est petite. Nous

avons alors en réintroduisant la viscosité... :

(139)

et nous avons la dérivée particulaire (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus):

(140)

soit aussi une autre relation utile:

(141)

Nous avons alors comme expression de la densité de force:

(142)

Pour continuer, nous allons chercher à déterminer la loi d'énergie de l'équation de

comportement démontrée dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus :

(143)

pour qu'elle rende également compte de la relation entre les contraintes et les caractéristiques

thermodynamiques du fluide, comme le flux de chaleur et la température. Nous allons le faire

en caractérisant la diffusion de l'énergie dans le milieu due aux effets (supposés découplés) de

la viscosité du fluide et de la conduction thermique du fluide.

Nous réécrivons cette relation avec de nouvelles constantes et une autre notation pour la

divergence:

(144)

où sont dans ce contexte appelés les "coefficients de Lamé".

Nous avons aussi démontré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus la relation:

(145)

Soit:

(146)

Ce qui donne:

(147)

Notons l'énergie totale comme:

(148)

où e est l'énergie interne massique du fluide (rapportée donc à une unité de masse de fluide).

Or la variation instantanée d'énergie interne du fluide est égale à l'apport d'une puissance

mécanique et de l'apport de chaleur (selon ce qui a été vu dans le chapitre de

Thermodynamique):

(149)

où P donne la puissance des efforts extérieurs au système donnée forcément par la force du

champ de potentiel environnant et des forces mécaniques données par le tenseur des

contraintes uniquement (nous somme toujours dans la situation d'un fluide parfait...). Soit:

(150)

et en utilisant le théorème d'Ostrogradsky (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

(151)

ce qui a bien les unités d'une puissance et nous avons bien:

(152)

Pour la puissance chaleur c'est très facile aussi grâce aux développements que nous avions

fait dans le chapitre de Thermodynamique où nous avons obtenu l'équation de la chaleur:

(153)

Soit:

(154)

Nous avons finalement:

(155)

Donc tout cela nous donne alors l'équation de l'énergie d'un fluide:

(156)

Soit:

(157)

et comme (cf. chapitre de Thermodynamique) le flux de chaleur suit la loi de Fourier:

(158)

Nous avons alors:

(159)

Soit en utilisant le Laplacien:

[1]

(160)

Maintenant, en faisant le produit scalaire de:

(161)

avec la vitesse nous obtenons le bilan de l'énergie cinétique:

[2]

(162)

En soustrayant [2] de [1], nous obtenons une relation locale de l'énergie interne spécifique e:

(163)

Or, nous avons aussi (dérivation d'un produit):

(164)

Soit:

(165)

Effectivement:

(166)

Nous avons donc:

(167)

et comme le tenseur est symétrique:

(168)

Nous avons donc:

(169)

Ce qui est parfois noté:

(170)

où est appelé "tenseur des taux de déformation" et représente le produite

doublement contracté du tenseur des contraintes et du tenseur des taux de déformation.

Nous avons montré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus:

(171)

où:

(172)

Ainsi, il est simple de différencier forces normales et forces tangentielles. Bref pour en revenir à

l'équation de l'énergie:

(173)

Nous avons donc:

(174)

Mais dans notre cas:

(175)

Soit:

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome