Notes sur l'équation de Lorenz - 2° partie, Notes de Génie Mécanique
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur l'équation de Lorenz - 2° partie, Notes de Génie Mécanique

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Notes de ingénierie sur l'équation de Lorenz - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La variation temporelle, La configuration, le raisonnement.
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(176)

Mais nous avons:

(177)

Nous avons donc:

(178)

Soit sous forme technique et condensée:

(179)

Il est clair qu'au niveau de l'entropie, nous avons:

(180)

Nous avons aussi:

(181)

Soit réduit au rapport massique:

(182)

La variation temporelle donnant:

(183)

Or, nous avons l'équation de continuité (cf. chapitre de Thermodynamique):

(184)

Ce qui nous donne finalement:

(185)

ou autrement écrit:

(186)

Injectée dans:

(187)

Cela donne:

(188)

Si nous considérons le gradient de vitesse comme étant très faible (quasi-statique) nous

pouvons alors écrire l'approximation:

(189)

Maintenant donnons l'expression de l'entropie (différentielle totale exacte) en fonction des

paramètres de température et de pression seuls:

(190)

soit sous forme massique:

(191)

Or nous avons démontré dans le chapitre de Thermodynamique la relation suivante:

(192)

soit sous forme massique:

(193)

Ce qui nous donne:

(194)

Or, nous avons démontré avec dans le chapitre de Thermodynamique une des relations de

Maxwell:

(195)

soit sous forme massique:

(196)

d'où:

(197)

Soit:

(198)

Soit notre relation:

(199)

peut alors s'écrire:

(200)

Si nous admettons que la variation de la densité avec la température est faible nous avons alors

dans un échelle atmosphérique alors:

(201)

et en se rappelant que:

(202)

Il vient finalement:

(203)

Nous avons maintenant deux équations importantes:

(204)

Soit:

(205)

Examinons maintenant rapidement le problème de Rayleigh Bénard qui consiste en deux

plaques limitant un fluide une étant plus chauffée que l'autre.

Nous pouvons alors observer des rouleaux longitudinaux parallèles dans un film de fluide

visqueux (huile de silicone) maintenu entre deux plaques à une température chaude en bas et

froide en haut. Voici une photo de ces rouleaux vus de côtés:

(206)

vue de dessus:

(207)

Il s'agit d'un problème de convection naturelle: le fluide chauffé en bas se dilate et remonte

entraînée par la force d'Archimède, arrivé en haut il se refroidit et retombe. C'est ce mouvement

qu'il faut expliquer qui est similaire à celui de l'atmosphère terrestre

Nous remarquons également que les mouvements de convection se font approximativement

selon un tore (voir la photo vue de côté). Nous pouvons tirer parti de cette symétrie pour

simplifier l'analyse.

Considérons donc une boucle verticale de fluide circulant à vitesse constante (donc sans trop de

turbulences...) :

(208)

La configuration sera imposée comme étant la suivante:

(209)

où est la température moyenne du fluide (attention: ne pas oublier que ce n'est pas une

grandeur extensive!) et où nous avons indiqué respectivement les températures à l'intérieur du

tore et à l'extérieur (soit de l'environnement) qui peuvent toutes varier en fonction du temps.

Nous voyons que la différence de température est de entre le haut et le bas et de entre

la droite et la gauche.

Nous posons que la température varie linéairement avec la hauteur (ce qui bien évidemment est

faux dans un modèle atmosphérique...):

(210)

Nous remarquons qu'il possible de paramétrer la température le long de l'intérieur du tore avec

la relations suivante (équation paramétrique du cercle):

(211)

Nous avons alors conformément au schéma:

(212)

Ceci étant posé, revenons à:

(213)

Nous allons passer ce système en coordonnées polaire correspondant le mieux à la géométrie

de notre problème. Rappelons d'abord que dans terme:

(214)

l'opérateur différentiel est la divergence. Or, nous avons démontré dans le chapitre de Calcul

Vectoriel celui-ci s'écrivait alors en coordonnées polaires:

(215)

Or, si nous nous basons sur l'hypothèse que dans le volume du tore, la vitesse ne varie ni en

fonction de l'angle, ni à l'intérieur du tore (donc ne varie pas selon le rayon r) alors en

coordonnées polaires:

(216)

Nous avons alors:

(217)

Nous allons réduire l'analyse à une seule dimension qui sera celle comme quoi le phénomène

ne dépend que de l'angle. Nous avons alors en coordonnées polaires:

(218)

où nous avons remplacé le coefficient de Grashof par son expression explicite et où nous avons

remplacé dans celui-ci le terme:

(219)

par la projection de la différence de température selon l'axe z tel que:

(220)

Le coefficient différentiel du dernier terme va nous embête. Nous le remplaçons par un

coefficient que nous supposerons constant et qui s'oppose au mouvement tel que nous ayons:

(221)

Ou plus explicitement:

(222)

Nous intégrons maintenant l'ensemble sur l'entier de la boucle en fonction de . Nous avons

alors:

(223)

Nous avons alors le terme pression qui disparaît car il n'y a pas de gradient de pression au long

de la boucle. Ainsi:

(224)

Nous avons ensuite (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

(225)

et:

(226)

Il nous reste donc:

(227)

Soit:

(228)

Nous voyons dans cette équation que le mouvement est piloté par la différence de température

horizontale .

Maintenant, revenons sur:

(229)

Si nous négligeons les forces tangentielles à l'intérieur de fluide nous avons alors:

(230)

où D est le coefficient de diffusion thermique (cf. chapitre de Thermodynamique).

En coordonnées polaires cela se réduit à:

(231)

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