Notes sur l'équation de Lorenz - 3° partie, Notes de Génie Mécanique
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur l'équation de Lorenz - 3° partie, Notes de Génie Mécanique

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Notes de ingénierie sur l'équation de Lorenz - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les deux relations, les trois équations différentielles.
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et nous allons aussi faire une autre approximation:

(232)

Et nous avons les deux relations:

(233)

En soustrayant:

(234)

Soit:

(235)

et encore:

(236)

Soit:

(237)

Après dérivation:

(238)

Nous regroupons les termes:

(239)

Nous avons alors les trois équations différentielles suivantes qui gouvernent la dynamique du

système:

(240)

Nous terminons les multiples simplifications en posant...:

Ce qui nous donne:

(241)

En remettant cela au propre:

(242)

Maintenant, introduisons les variables sans dimensions suivantes:

(243)

où nous pouvons assimiler:

- X à la vitesse adimensionnelle

- Y à la différence adimensionnelle de température entre courants ascendants et descendants

- Z à la déviation adimensionnelle de l'équilibre de convection.

Nous avons alors effectivement:

(244)

Soit:

(245)

De manière encore plus condensée et traditionnelle:

(246)

où nous avons:

(247)

ce qui correspond au "nombre de Prandtl" et:

(248)

ce qui est assimilé au "nombre de Rayleigh".

Ce système de trois équations sont essentiellement les mêmes que celles du célèbre système de

Lorenz. A une différence près, le système de Lorenz (réel) contient un facteur b dans la dernière

équation (ce qui change peu de toute façon le résultat puisque l'on obtient quand même un

attracteur étrange au bout du compte comme nous allons de suite le voir):

(249)

Pr, Re et b sont strictement positifs, et on pose souvent où le nombre

de Prandtl correspond à la valeur de l'eau.

Les équations de Lorenz décrivent les phénomènes de convection d'un fluide idéal à deux

dimensions, dans un réservoir chauffé par le bas.

Nous voyons par cette démonstration que contrairement aux dires non démontrés sur Internet

que:

1. Le système n'est de loin pas simple mathématiquement et est très approximatif

2. Qu'il existe des systèmes vraiment plus simples et eux aussi chaotique (cf. chapitre de

Dynamique des Populations).

L'intérêt des équations de Lorenz réside cependant dans la sensibilité aux conditions initiales et

au convergence des variables adimensionnelles. Voyons un exemple avec Maple

with(DEtools):

lorenz :=diff(x(t),t) = 10*(y(t)-x(t)),diff(y(t),t) = 28*x(t)-y(t)-x(t)*z(t),diff(z(t),t) = x(t)*y(t)-

8/3*z(t);

DEplot3d({lorenz}, [x(t),y(t),z(t)], t=0..100, stepsize=0.01, [[x(0)=10, y(0)=10, z(0)=10]],

orientation=[-35,75], linecolor = t, thickness = 1);

Ce qui donne:

(250)

Ou pour :

(251)

Bon jusque là on s'en rend compte que les paramètres adimensionnels tournent autour de deux

points que nous appelons les "attracteurs étranges".

Définition: Dans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un

ensemble, une courbe ou un espace vers lequel un système évolue de façon irréversible en

l'absence de perturbations.

Maintenant toujours pour les mêmes valeurs du temps adimensionnel, nous

prenons , soit un changement relativement faible des conditions initiales. Nous

avons alors:

(252)

Nous remarquons donc que le phénomène n'est plus vraiment semblable.

Considérons par exemple la variable x en prenant comme condition

initiale puis soit une légère

variation de 0.01 sur la valeur de .

Soit dans Maple:

DEplot({lorenz}, [x(t), y(t), z(t)], t=0..15, stepsize = 0.01, [[x(0)=10, y(0)=10, z(0)=10],[x(0)=10,

y(0)=10.01, z(0)=10]], scene = [t,x], linecolor = [blue,green], thickness = 1);

(253)

Nous voyons que le système se décale assez rapidement du modèle initial alors qu'au début il

reste identique mais la forme globale reste.

Autre chose... suivant les paramètres le système peut converger. Effectivement, en changeant le

facteur 28 par la valeur 22 nous avons par exemple (convergence à gauche):

(254)

ou avec la valeur 19 le résultat est encore plus trivial:

(255)

ou encore avec la valeur avec une valeur proche de 1:

(256)

On remarque un dernier cas intéressant, c'est que si le nombre de Prandtl vaut 1 alors le

système est stable:

(257)

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