Notes sur l'équation de Navier-Stokes - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation de Navier-Stokes - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'équation de Navier-Stokes - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les trois composantes, Le rapport, Le principe d'analyse, la représentation matricielle.
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ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES

Soit un parallélépipède élémentaire extrait d'un fluide statique à l'équilibre de

dimensions dx, dy, dz représenté à la figure ci-dessous. La matière à l'équilibre composant le

parallélépipède est en général soumise à des forces de volume dans toutes les directions

(théorème de Pascal) dont les composantes sur les trois axes orthogonaux sont représentées

sur la figure ci-dessous (ces forces peuvent être de nature gravitationnelles,

électromagnétiques ou inertielles...).

(34.149)

Remarques:

R1. Il est important de remarquer que les composantes des tous les vecteurs visibles sur la figure

ci-dessus sont exprimés en newton par unité de surface, soit en d'autres termes par unité de

pression (qui est l'unité de la contrainte pour rappel...).

R2. Il est important d'être attentif au plus haut point sachant à ce qui va suivre car certaines des

résultats que nous obtiendrons ici seront réutilisés dans le chapitre de Relativité Générale pour

comprendre le tenseur d'énergie-impulsion!!

Nous pouvons, comme nous l'avons représenté ci-dessus, décomposer et translater l'ensemble

des forces auxquelles est soumis le parallélépipède aux centres des faces de ce dernier. Nous

représentons bien évidemment chacune des contraintes sur chacune des faces comme la

somme des contraintes normales et tangentielles telles que nous l'avions fait pour l'étude des

solides sous contrainte (selon les trois axes toujours, d'où la somme de trois composantes!).

Au total, nous nous retrouvons avec 18 composantes de contraintes normales et tangentielles:

(34.150)

Nous cherchons à minimiser le nombre de composantes normales afin de déterminer quelles

sont les contraintes suffisantes sur chacun des axes. Ainsi nous poserons:

(34.151)

Donc trois composantes suffisent pour connaître les forces de contraintes normales aux

surfaces selon chaque axe.

Si nous effectuons la somme des moments de forces par rapport aux centres de gravité pour

chaque axe de symétrie du parallélépipède (XX',YY',ZZ') il est évident que sur les 12

composantes tangentielles, 6 suffisent pour décrire l'ensemble du système.

Ainsi pour le plan XOY passant par le centre de gravité nous avons:

(34.152)

Pour le plan XOZ:

(34.153)

Pour le plan ZOY:

(34.154)

Donc pour chaque plan (XOY, ZOY, ZOX), une composante suffit pour décrire l'ensemble de

moments de forces.

Ainsi, par souci de simplification d'écriture, nous poserons (il est plus conforme de faire les

développements avec des indices en minuscules):

et (34.155)

Au total, cela nous fait donc 3 composant tangentielle plus 3 composantes normales qui sont

suffisantes et nécessaires pour décrire les contraintes sur le parallélépipède selon chaque axe

du plan de symétrie de ce dernier:

(34.156)

Nous pouvons obtenir les mêmes composantes d'équilibre en considérant cette fois un

tétraèdre régulier élémentaire (extrait du cube ci-dessus) statique. Le but étant de démontrer

que nous retrouvons bien les 6 composantes déterminées précédemment.

(34.157)

Remarque: Il est important d'observer à nouveau que les composantes des tous les vecteurs

visibles sur la figure ci-dessus sont exprimés en newton par unité de surface, soit en d'autres

termes par unité de pression (qui est l'unité de la contrainte pour rappel...).

Pour connaître l'aire des faces OAC, OBC, OAB , nous multiplions la surface ABC (notée ci-

après: S) par le cosinus de l'angle que forment les vecteurs et .

Effectivement, soit les surfaces:

et (34.158)

Cependant, nous cherchons à exprimer les en fonction de S. Le schéma ci-dessous (coupe

du tétraèdre) devrait aider à comprendre le raisonnement:

(34.159)

et donc:

(34.160)

Finalement:

(34.161)

Le rapport:

(34.162)

d'où:

(34.163)

Le principe d'analyse étant le même pour toutes les autres surfaces telles que:

(34.164)

Nous écrirons donc:

(34.165)

tel que:

(34.166)

Remarque: Nous pouvons facilement connaître les valeurs des à l'aide de l'analyse vectorielle.

Effectivement, le plan ABC étant d'équation:

(34.167)

en simplifiant par :

(34.168)

Le vecteur normal au plan étant bien:

(34.169)

pour connaître les cosinus de l'angle du vecteur normal avec les , il suffit d'assimiler ces

derniers au vecteurs de base tel que (trigonométrie élémentaire):

(34.170)

et en procédant de même pour tous les autres .

L'équilibre des forces nous donne:

(34.171)

Après simplification:

(34.172)

Suivant les autres axes:

(34.173)

Soit en résumé:

(34.174)

En utilisant la représentation matricielle, nous obtenons:

(34.175)

Soit en notation indicielle les forces normales sont données par la relation :

(34.176)

avec ( , si )

Nous voyons apparaître une grandeur mathématique ayant 9 composantes, alors qu'un

vecteur dans le même espace en possède 3. Nous connaissons ce genre d'être

mathématique que nous avons déjà étudié en algèbre dans le chapitre de Calcul Tensoriel. La

grandeur est appelée "tenseur des contraintes du second ordre". En outre, certaines

composantes peuvent êtres égales ( , si ) , ce qui le rendrait symétrique. Il ne

possède alors plus que les 6 composantes distinctes, relativement aux nombres de

composantes suffisantes pour d'écrire totalement un système à l'équilibre.

Pour étudier les déformations d'un milieu continu tel qu'un fluide, nous considèrerons d'abord

le cas de très faibles déformations. Les petits déplacements d'un point seront représentés

par u, v, w parallèles aux axes d'un référentiel OXYZ. Nous admettons que ces composantes

sont des quantités très faibles variant d'une façon continue dans le volume du corps considéré.

Soit un segment linéaire OP situé dans un solide avant déformation. Dans un référentiel OXYZ,

nous noterons et les coordonnées de O et P.

Pendant la déformation, la ligne OP devient O'P' tel que représenté ci-dessous:

(34.177)

Soient les déplacements du point O parallèlement aux axes OX, OY, OZ et

les déplacements du point P parallèlement aux mêmes axes.

Les coordonnées des points O' et P' sont alors :

et (34.178)

Avant déformation, soit L la longueur OP :

(34.179)

Après déformation, nous avons une longueur L' valant :

(34.180)

Si est l'allongement de l'élément OP pendant la déformation, nous avons:

(34.181)

En effectuant les quelques transformations suivantes:

(34.182)

En développant:

(34.183)

Soit:

(34.184)

En négligeant les termes de déplacement d'ordre supérieur et en tenant compte de la relation:

(34.185)

il vient que disparaît avec ainsi que les termes au carré,

nous avons:

(34.186)

Or, la géométrie analytique (trigonométrie élémentaire; rapport des côtés opposés et adjacents

à l'hypoténuse) donne les relations suivantes :

(34.187)

qui sont les cosinus directeurs de la droite L.

Nous pouvons alors écrire:

(34.188)

La variation étant un déplacement faible, nous avons recours à un développement en série

de Taylor (cf. chapitres Suites Et Séries) dont nous négligeons les termes d'ordre supérieur

(linéarisation des équations) :

(34.189)

Nous avons également:

(34.190)

La différence donne:

(34.191)

Donc nous pouvons maintenant écrire :

(34.192)

Finalement:

(34.193)

En groupant, nous avons :

(34.194)

Cette expression permet en un point quelconque le calcul de la déformation dans une

direction ayant comme cosinus directeur l, m, n en fonction des déplacements u, v, w en ce

point !

Soit le cas où la ligne L coïncide avec l'axe OX, nous avons , l'équation

précédente devient alors:

(34.195)

Nous avons, si L coïncide avec l'axe OY ou avec l'axe OZ :

(34.196)

Les grandeurs sont appelées "déformations normales" et non pas d'unités.

Pour l'interprétation des termes , nous nous référerons à

la figure suivante:

(34.197)

Soient deux segments de droite OR et OQ situés dans le plan XOY. Avant

déformation OR et OQ coïncidaient avec le référentiel orthonormé YOX. Après déformation, ils

peuvent prendre la position O'R' et O'Q'. Les composantes du déplacement de O sont u, v .

- La composante du déplacement de R' est calculée comme suit:

avec (34.198)

car l'angle est faible .

En toute généralité comme , nous écrirons:

(34.199)

- La composante du déplacement de Q' est elle:

(34.200)

Comme avant déformation, l'angle QOR est de , après déformation, l'angle droit est réduit

de . Cette réduction est appelée "déformation de cisaillement" ou "déformation

tangentielle" et est notée par .

Nous procéderons de la même façon pour les autres termes, d'où :

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