Notes sur l'équation de Pauli - 1° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 January 2014

Notes sur l'équation de Pauli - 1° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur l'équation de Pauli - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: une représentation à deux composantes du spineur, deux équations, l'équation de Pauli, le terme de Stern-Gerlach.
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ÉQUATION DE PAULI

Considérons maintenant une représentation à deux composantes du spineur:

(43.212)

et rappelons que:

et (43.213)

Il vient alors:

(43.214)

Soit:

(43.215)

Ce qui après simplification donne:

(43.216)

Avant de continuer, ouvrons une parenthèse importante sinon quoi nous n'arriverons pas à trouver une solution à ces deux équations.

Rappelons qu'un des spineurs solutions de l'équation de Dirac libre était donné par (nous l'avons démontré plus haut et nous enlevons l'indice i ainsi que le symbole du produit scalaire pour simplifier les écritures):

(43.217)

Soit en unités S.I.:

(43.218)

Afin de simplifier le calcul des équations antéprécédentes nous abaisserons la situation à un cas non relativiste, c'est-à-dire lorsque l'énergie de masse est beaucoup plus grande que l'énergie cinétique. Donc la solution précédente devient (on oublie la deuxième qui poserait problème...):

(43.219)

L'idée est alors de trouver une solution telle à:

(43.220)

qui lorsque nous faisons une approximation non relativiste et que nous annulons le champ magnétique (in extenso le potentiel vecteur), nous retombons sur:

(43.221)

L'idée est simple mais il fallait y penser!

Après maints tâtonnements (eh oui la physique quantique ne c'est pas faite en un jour...) nous trouvons qu'une solution particulière satisfaisant à notre idée précédente est:

(43.222)

Effectivement:

(43.223)

Nous avons finalement deux équations:

(43.224)

Maintenant, considérons uniquement la deuxième équation:

(43.225)

En supposant (gratuitement! après quoi il faudra comparer aux résultats expérimentaux) que le

terme est beaucoup plus petit que nous pouvons écrire:

(43.226)

En faisant la même hypothèse avec nous avons:

(43.227)

Nous avons alors:

(43.228)

Or, nous voyons bien que si le champ magnétique (in extenso le potentiel vecteur) s'annule, nous retombons sur bien notre idée de départ! Le pari est donc bon!

A cause de toutes ces approximations vers le bas, la composante est souvent prise comme

étant la "petite" composant de la fonction d'onde , relativement à la grosse composante .

La première équation:

(43.229)

peut maintenant être simplifiée facilement en prenant la solution précédente tel que:

(43.230)

Soit:

(43.231)

En utilisant l'identité remarquable démontrée dans le chapitre de Calcul Spinoriel:

(43.232)

Nous avons:

(43.233)

Détaillons le produit vectoriel en se rappelant qu'il agira comme opérateur sur :

(43.234)

Or, nous avons:

(43.235)

Intéressons nous juste à la composante dans le coin supérieur gauche (sinon les calculs sont trop longs) de cette somme de matrices. Il ne faut pas l'oublier que cette composante de la

matrice agira sur la première composante en tant qu'opérateur sur (notée de même...):

(43.236)

Or:

(43.237)

Donc:

(43.238)

Or, nous reconnaissons ici la troisième composante d'un produit vectoriel n'agissant pas comme opérateur. Finalement, il vient:

(43.239)

Soit:

(43.240)

Ainsi, la relation de la composante principale:

(43.241)

Devient:

(43.242)

Après réarrangement:

(43.243) ce qui constitue "l'équation de Pauli" et décrit donc de manière relativiste les deux

composantes de liberté du spin de l'électron.

Le terme:

(43.244) est appelé "terme de Stern-Gerlach" et représente l'énergie d'interaction du champ magnétique avec le moment intrinsèque de l'électron.

L'équation de Pauli, et donc celle de Dirac (puisque cette dernière est plus générale), donnent le

facteur gyromagnétique correct de pour un électron libre. Pour vérifier ceci, prenons comme il a été fait expérimentalement, un champ magnétique constant:

Nous vérifions facilement que le choix d'un potentiel vecteur correspondant à un champ magnétique constant est alors:

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