Notes sur l'équation de Pauli - 2° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 January 2014

Notes sur l'équation de Pauli - 2° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur l'équation de Pauli - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la démonstration, la relation, l'équation de Pauli.
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(43.245)

Ce choix va avoir pour effet de faire disparaître le potentiel vecteur au profit du champ magnétique dans l'équation de Pauli ce qui fera apparaître l'interaction entre le moment angulaire orbita et le champ magnétique comme nous allons le voir:

Effectivement, nous avons:

(43.246)

Démonstration:

(43.247)

Nous avons alors dans l'équation de Pauli:

(43.248)

Or, rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel que:

(43.249)

Cela nous donne donc:

(43.250)

où:

(43.251)

noté aussi (cf. chapitre de Mécanique Classique/Physique Quantique Corpusculaire) est donc un opérateur représentant le moment cinétique.

Nous avons donc:

(43.252)

En définissant l'opérateur spin comme étant (oh! on retrouve quelque chose de connu et vu dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire!! c'est magnifique non?):

(43.253)

Cette relation nous sera très utile dans le chapitre d'Informatique Quantique.

L'équation de Pauli s'écrit alors:

(43.254)

ou encore:

(43.255)

ou encore en plus condensé en faisant bien attention à bien différencier ce qui est un opérateur, d'un vecteur et ce qui est un produit d'un produit scalaire et ce qui est une fonction d'un spineur... (que du bonheur...):

(43.256)

avec étant donc le "moment magnétique orbital", le "moment magnétique de spin" et avec tout cela le terme de Stern-Gerlach devient donc:

(43.257)

où le "facteur de Landé" ou "facteur gyromagnétique" de l'électron qui est une grandeur physique sans dimension qui permet de relier le moment magnétique au moment cinétique d'un état quantique. Nous retrouvons par ailleurs le rapport:

(43.258)

qui est le magnéton de Bohr que nous avions introduit dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire.

Donc la théorie de Dirac dans le cadre non relativiste prédit en bonne approximation que les particules de spin 1/2 ont un facteur gyromagnétique de 2, et cette prédiction conforme à l'expérience est le plus grand triomphe de l'équation de Dirac.

Les valeurs suivantes ont été mesurées pour les particules de spin ½ tel que l'électron, le proton et le neutron (attention le signe peut changer suivant la manière dont est notée l'équation de Dirac!):

(43.259) Remarques:

R1. Le facteur gyromagnétique est pris parfois comme étant négatif mais ce n'est qu'une question de convention.

R2. Les déviations de la valeur théorique sont parfaitement expliquées dans le cadre de l'électrodynamique quantique. Mais ces déviations montrent que la structure du proton et du neutron sont plus complexe qu'une particule ponctuelle de spin 1/2 alors que dans le cas de l'électron, il semblerait qu'il n'y ait pas de sous-structure.

C'est par ailleurs le terme :

(43.260)

de l'hamiltonien de Pauli qui donne les valeurs mesurées par l'effet Zeeman!

Nous savons que cette dernière relation peut aussi s'écrire pour toute particule (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire):

(43.261)

où est la "rapport gyromagnétique" et le "magnéton de Bohr" (mais nous avons vu lors de la démonstration de cette relation que le magnéton de Bohr n'est qu'un cas particulier du moment magnétique de spin avec le facteur de Landé égal à celui de l'électron.)

Supposons maintenant que le noyau d'un atome n'a que deux orientations de spin possible (il existe plusieurs valeurs de spin pour tous les noyaux existants) alors nous avons vu dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire et Ondulatoire que:

(43.262)

soit 3 états différents mais deux variations d'énergies possibles à spin égal (entre {-1,0} et {0,+1} pour le premier et {-1,+1} pour le deuxième).

Intéressons nous maintenant seulement à la variation d'énergie entre deux états. Il sera alors toujours à spin égal de la forme:

(43.263)

Cette variation d'énergie sera restituée sous forme d'ondes électromagnétiques correspondant à:

(43.264)

d'où:

(43.265) qui est la "relation de Larmor" (à ne pas confondre avec la "rayon de Larmor" vu dans le chapitre de Magnétostatique). Mais dans la pratique nous utilisons surtout la relation:

(43.266) qui donne ce que nous appelons la "fréquence de résonance".

Cette étude de variation d'énergie due à l'application d'un champ magnétique est à la base de la résonance magnétique nucléaire (RMN) qui ne marche donc que pour les particules

possédant le moment magnétique de spin (par construction de l'hamiltonien de Pauli!).

La RMN consiste à modifier le moment magnétique nucléaire, autrement dit à faire passer le noyau d'un niveau d'énergie à un autre, en appliquant des champs magnétiques à l'échantillon qu'on veut étudier. Lorsque l'énergie des photons qui constituent ces champs magnétiques correspond à l'énergie de transition d'un niveau d'énergie à l'autre, ces photons peuvent être absorbé par le noyau : nous disons alors qu'il y a "résonance nucléaire". Nous pouvons caractériser l'énergie de transition du moment magnétique de spin nucléaire en donnant la fréquence de l'onde électromagnétique qui permet la résonance. Pour les champs usuels (de l'ordre du tesla), la résonance du proton a lieu dans le domaine des ondes radio (100 [MHz] environ) : 42 [MHz] dans un champ de 1.0 [T] et 63 [MHz] dans un champ de 1.5 [T].

 

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