Notes sur l'équation des géodésiques - 1° partie , Notes de Astronomie

Télécharge Notes sur l'équation des géodésiques - 1° partie et plus Notes au format PDF de Astronomie sur Docsity uniquement! Intéressons-nous maintenant à obtenir le même résultat mais en faisant usage cette fois-ci du principe variationnel. Nous retomberons sur la même équation que précédemment pour tout type d'espace à la différence que cette fois-ci, nous prendrons la peine de la simplifier pour arriver à "l'équation des géodésiques". En partant de (voir développements précédents) : (50.113) avec une paramétrisation telle que et sont fonction d'un paramètre temporel ou spatial. Pour une surface donnée sous forme paramétrique, nous cherchons donc à minimiser la longueur d'un arc ds en appliquant donc le principe variationnel (non dépendant du temps car les photons ne peuvent avoir un chemin plus rapide au sens temporel du terme entre deux points mais uniquement un chemin plus court - au sens métrique du terme): (50.114) en unités naturelles. Or: (50.115) En développant, et comme les indices ont le même domaine de variation: (50.116) d'où: (50.117) En travaillant sur la seconde intégrale, nous posons: et (50.118) Donc par l'intégration par partie (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral): (50.119) il vient: (50.120) Soit finalement: (50.121) Le terme non intégré ci-dessous est négligeable à cause de la présence du facteur : (50.122) Donc nous avons: (50.123) Nous effectuons un changement d'indice: (50.124) ce qui nous permet de factoriser :