Notes sur l'équation des géodésiques - 1° partie , Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez9 January 2014

Notes sur l'équation des géodésiques - 1° partie , Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur équation des géodésiques - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation, les "géodésiques", la "connexion affine".
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Intéressons-nous maintenant à obtenir le même résultat mais en faisant usage cette fois-ci du

principe variationnel. Nous retomberons sur la même équation que précédemment pour tout

type d'espace à la différence que cette fois-ci, nous prendrons la peine de la simplifier pour

arriver à "l'équation des géodésiques".

En partant de (voir développements précédents) :

(50.113)

avec une paramétrisation telle que et sont fonction d'un paramètre temporel ou spatial.

Pour une surface donnée sous forme paramétrique, nous cherchons donc à minimiser la

longueur d'un arc ds en appliquant donc le principe variationnel (non dépendant du temps car

les photons ne peuvent avoir un chemin plus rapide au sens temporel du terme entre deux

points mais uniquement un chemin plus court - au sens métrique du terme):

(50.114)

en unités naturelles.

Or:

(50.115)

En développant, et comme les indices ont le même domaine de variation:

(50.116)

d'où:

(50.117)

En travaillant sur la seconde intégrale, nous posons:

et (50.118)

Donc par l'intégration par partie (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

(50.119)

il vient:

(50.120)

Soit finalement:

(50.121)

Le terme non intégré ci-dessous est négligeable à cause de la présence du facteur :

(50.122)

Donc nous avons:

(50.123)

Nous effectuons un changement d'indice:

(50.124)

ce qui nous permet de factoriser :

(50.125)

Comme et sont différents de zéro, c'est l'intégrant qui doit être nul:

(50.126)

En développant le second terme:

(50.127)

Qui s'écrit encore:

(50.128)

et qui se simplifie en:

(50.129)

Nous obtenons (à nouveau!!!) le système d'équations qui définissent les "géodésiques", c'est-à-

dire les droites de . Ces dernières constituent donc les extrémales de l'intégrale qui mesure

la longueur d'un arc de courbe joignant deux points donnés dans .

Cette dernière équation, est celle qui nous intéresse dans le cas du lagrangien libre.

Effectivement, si nous prenons le cas extrême de la lumière (ou des photons si vous préférez),

cette dernière ne va pas chercher le chemin le plus rapide (le plus vite) au niveau temporel. Ce

serait totalement en contradiction avec le postulat d'invariance de voir la lumière accélérer en

fonction du chemin!!! Dans ce contexte, cela signifie que sur la trame spatio-temporelle, la

seule chose qui à un sens est le plus court chemin spatial et non le plus court chemin temporel!

C'est la raison pour laquelle cette dernière équation est appelée "équation des géodésiques" ou

encore "équation d'Euler-Lagrange généralisée".

Cependant, nous pouvons écrire cette dernière équation de façon plus condensée en

introduisant les symboles de Christoffel si la métrique est un tenseur symétrique tel

que . Effectivement:

(50.130)

et comme le symbole de Christoffel de première espèce est (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) est

défini par :

(50.131)

Remarque: Il est important de se rappeler que ce symbole contient toute l'information sur la

métrique de l'espace-temps. Nous verrons un exemple plus bas comme quoi dans un référentiel

localement inertiel ce symbole de Christoffel est nul.

Alors l'équation d'Euler-Lagrange s'écrit:

(50.132)

La multiplication contractée (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) de la relation précédente dans la

base canonique par nous donne :

(50.133)

dans la littérature un changement d'indice est souvent effectué afin d'avoir au final (c'est

toujours la même expression étant donné que les indices ont le même domaine de variation!) :

(50.134)

avec étant donc le symbole de Christoffel de deuxième espèce (cf. chapitre de Calcul

Tensoriel) donné par :

(50.135)

et est appelé dans le cadre de la relativité générale la "connexion affine" ou encore "coefficients

de connexion" et qui permet de trouver le système de coordonnées (via la résolution d'un

système d'équation différentielles) en chute libre dans lequel l'équation de la particule est celle

d'un déplacement uniforme dans l'espace temps en fonction d'un système de référence (les

deux systèmes étant donc reliés par la connexion affine!).

Cette relation, de la plus haute importance, nous permet de déterminer comment un corps en

mouvement va naturellement se déplacer dans un espace courbe et peut-être... ce

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