Notes sur l'équation des géodésiques - 2° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez9 January 2014

Notes sur l'équation des géodésiques - 2° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur l'équation des géodésiques - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La "limite newtonienne".
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indépendamment de sa masse !!! Elle nous donne donc la métrique dans laquelle nous devons

poser un référentiel pour qu'il soit inertiel par rapport au corps considéré.

L'équation des géodésiques antéprécédente est aussi l'équation différentielle du second ordre

que doit donc satisfaire la représentation paramétrique d'une ligne sur une surface où s est la

longueur le long de la ligne afin que sa longueur totale soit extrêmale.

Selon le principe d'équivalence, nous somme donc en droit d'interpréter cette relation comme

l'équation du mouvement dans un champ de gravitation quelconque, et donc d'interpréter le

deuxième terme supplémentaire de l'équation comme l'opposé d'un terme de force

gravitationnelle par unité de masse, c'est-à-dire comme l'opposé d'un champ gravitationnel.

Remarque: Nous pouvons également écrire l'équation des géodésiques et utilisant le temps

propre :

(50.136)

ou encore en utilisant la quadrivitesse :

(50.137)

Encore une fois, si nous nous restreignons à un espace-temps plat, nous voyons trivialement

que nous retombons sur la première équation du mouvement que nous avions obtenu :

(50.138)

car les composantes de la métrique de Minkowski étant constantes les coefficients de

Christoffel sont tous nuls.

Les solutions de cette dernière équation sont des lignes droites ordinaires données par:

(50.139)

Bien évidemment, dans un espace-temps courbe général, les géodésiques ne pourront pas être

globalement représentées par des lignes droites. Cependant avec une approximation au

deuxième ordre en développement de Taylor nous arrivons à nous ramener à des droites (ce qui

revient à ramaner l'espace courbe à un espace plat).

L'important dans tout cela, c'est que l'équation des géodésiques permet de constater que la

courbure de l'espace détermine les trajectoires des corps qui s'y meuvent quelque soit leur

masse, qu'ils soient en mouvement uniforme ou non (observez la dérivée seconde dans

l'équation des géodésiques!). Il ne nous reste plus alors qu'à effectuer la fin du travail et de

mettre en relation la courbure de l'espace-temps avec l'énergie qui s'y trouve !

LIMITE NEWTONIENNE

Nous avons montré plus haut (argument de Shild) que pour étudier la gravitation (en particulier

l'effet Einstein), la géométrie courbe est nécessaire. Nous avions promis de montrer aussi

qu'elle était suffisante. Il est temps maintenant de la faire !

Définition: La "limite newtonienne" est une situation physique où les trois conditions ci-dessous

sont satisfaites :

C1. Les particules se déplacent lentement par rapport à la vitesse de la lumière. Ce qui

s'exprime comme le fait que les composantes spatiales de leur quadrivecteur est très inférieure

à la composante temporelle (t étant le temps propre) :

(50.140)

C2. Le champ de gravitation est statique. En d'autres termes, toute dérivée temporelle de la

métrique est nulle.

C3. Le champ gravitationnel est faible, c'est-à-dire qu'il peut être vu comme une faible

perturbation d'un espace plat :

avec (50.141)

et où est constant (seul dépend des coordonnées).

Considérons l'équation des géodésiques obtenue précédemment :

(50.142)

La première condition nous amène à la simplifier sous la forme :

(50.143)

Les deux autres conditions nous offrent plusieurs simplifications dans l'expression du symbole

de Christoffel de deuxième espèce :

(50.144)

L'équation des géodésiques devient alors :

(50.145)

la composante temporelle ( ) vaut alors :

(50.146)

car (rappel de la métrique de Minkowski) pour et pour nous avons

(métrique statique) .

En d'autres termes, est constant. Quant aux composantes spatiales, nous avons

que est la matrice identité 3x3 (la partie spatiale!), ce qui donne :

(50.147)

Notons maintenant le temps propre comme il est de tradition de le faire :

(50.148)

En divisant par et en rétablissant , nous obtenons :

(50.149)

A partir d'ici nous posons (car nos illustres prédécesseurs ont tâtonné avant nous):

(50.150)

tel que (relation qui nous sera très utile lors de l'étude de la métrique de Schwarzschild plus

loin) :

(50.151)

où est le potentiel gravitationnel, nous retrouvons l'expression de l'accélération

gravitationnelle (équation de Newton-Poisson) de la mécanique newtonienne (cf. chapitre de

Mécanique Classique) :

(50.152)

avec .

Ce développement, simple mais néanmoins remarquable par son interprétation, prouve que la

géométrie courbe est suffisante pour décrire la gravitation !!

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