Notes sur l'équation du mouvement - 1° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez9 January 2014

Notes sur l'équation du mouvement - 1° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur l'équation du mouvement - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: démonstration.
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Nous allons démontrer ici que l'équation du mouvement d'une particule libre est constant le

long de sa ligne d'Univers en nous limitant d'abord dans un espace plat (de type Minkowski).

Après quoi, nous généraliserons ce résultat à tout type d'espace en utilisant un développement

simple, pour montrer de manière évidente que l'équation de mouvement est indépendante de la

masse et suit la courbure de l'espace!!! Enfin, nous présenterons une deuxième démonstration

dans tout type d'espace en utilisant le principe variationnel.

Commençons donc par démontrer l'équation du mouvement d'une particule libre dans un

espace plat.

Lors de notre étude de la relativité restreinte, nous avons démontré le lagrangien relativiste

d'une particule libre donné par (attention! la notation m est celle de la masse au repos de la

particule conformément à ce que nous avons montré dans le chapitre de Relativité Restreinte!!!)

:

(50.49)

et pour cela nous étions partis de l'action (hypothétique) :

(50.50)

et nous étions arrivés à écrire :

(50.51)

Maintenant, montrons quelque chose d'intéressant. Rappelons que pour l'espace-temps de

Minkowski nous avons obtenu :

(50.52)

en nous restreignant à une seule dimension spatiale, nous obtenons comme relation :

(50.53)

et alors... eh bien voilà au fait, si nous posons :

(50.54)

nous avons finalement :

(50.55)

nous retrouvons donc la même action à partir d'une forme plus générale (pure) de l'action qui

est:

(50.56)

résultat que nous avions aussi démontré dans le chapitre d'Électrodynamique!! Nous pouvons

même faire mieux en termes d'élégance...! Si nous observons bien les développements des

lignes précédentes, nous observons qu'au fait la relation:

(50.57)

est le cas particulier à une dimension de la relation:

(50.58)

avec comme défini plus haut:

(50.59)

et donc:

(50.60)

Effectivement, si nous prenons le cas à une dimension dans un espace plat de Minkowski:

(50.61)

Ainsi, nous avons le facteur de Fitzgerald-Lorentz qui est donné en toute généralité par:

(50.62)

comme généralisation de la Relativité Restreinte!

Ceci étant fait, revenons à nos moutons... Dans un espace sans champ de potentiel, nous avons

démontré dans le chapitre de Mécanique Analytique que le lagrangien se réduit à la simple

expression de l'énergie cinétique tel que:

(50.63)

si nous souhaitons généraliser cette relation pour qu'elle soit valable dans n'import que type

d'espace (courbe ou plat), il nous faut introduire les coordonnées curvilignes telles que nous les

avons étudiées en calcul tensoriel (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

Dans un premier temps, cela donne:

(50.64)

où rappelons-le ds est l'abscisse curviligne de la trajectoire.

Et nous avons démontré en calcul tensoriel que:

(50.65)

Cette dernière relation s'écrit dans le contexte de la mécanique relativiste sous manière plus

standard :

(50.66)

t est un paramètre qui correspond en mécanique au temps propre de la

particule et qui dans la littérature spécialisée est souvent notée .

Avant de nous intéresser aux espaces courbes décrits par la métrique (ce que nous ferons

lors de notre démonstration du lagrangien libre généralisé), restreignons nous à l'espace

euclidien avec la métrique (ce sera un bon exercice pour bien comprendre) donnée par la

matrice de Minkowski (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

(50.67)

que nous noterons pour la différencier des autres (car plus souvent utilisée). Nous avons

finalement dans l'espace l'euclidien :

(50.68)

maintenant, appliquons le principe variationnel :

(50.69)

La variation de ds peut être trouvée plus simplement par la variation de :

(50.70)

nous trouvons :

(50.71)

Le facteur "2" provient du fait que par symétrie de l'espace euclidien, les variations

de et sont égales.

Remarque: Comme nous le verrons après, cette relation de ne sera plus identique lorsque

nous traiterons des espaces courbes.

En simplifiant un peu, nous obtenons :

(50.72)

Ce qui est équivalent à écrire :

(50.73)

Nous pouvons maintenant revenir à l'action :

(50.74)

Nous récrivons l'intégrale précédente (ce sera plus simple à traiter) :

(50.75)

Effectivement, vérifions que cette forme est bien équivalente :

(50.76)

Donc revenons à notre intégrale :

(50.77)

Nous avons donc deux intégrales qu'il va être un peu plus simple à analyser. La première

intégrale :

(50.78)

donne simplement une expression évaluée aux extrémités temporelles . Dès lors, comme

la valeur de est parfaitement connues aux extrémités temporelles, le variationnel est

nulle aux deux bornes et cette intégrale est nulle.

Il nous reste alors plus que l'intégrale :

(50.79)

Donc pour que le principe variationnel soit respecté, il faut que nous ayons :

(50.80)

Or, nous pouvons récrire une partie de cette expression. Effectivement, nous avons :

(50.81)

Rappelons par ailleurs que nous avons démontré plus haut que :

(50.82)

et que nous avons :

(50.83)

Donc :

(50.84)

Maintenant, rappelons que lors de notre étude de la relativité restreinte nous avons démontré le

cheminement qui nous amenait à définir le quadrivecteur d'énergie impulsion :

(50.85)

Donc finalement, ce qui annule le variationnel de l'intégrale d'action peut s'écrire :

(50.86)

Nous retrouvons donc l'équation de conservation de la quantité de mouvement (conservation de

l'impulsion) que nous appelons dans le cadre de la relativité générale "équation du

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