Notes sur l'équation du mouvement - 2° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez9 January 2014

Notes sur l'équation du mouvement - 2° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur l'équation du mouvement - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation du mouvement, la relation appelée "lagrangien géodésique".
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mouvement". Cette forme de l'équation de mouvement semble dépendante de la masse mais en

fouillant un peu, nous verrons qu'il n'en est rien.

En multipliant cette relation par nous pouvons aussi écrire :

(50.87)

et de même pour un autre observateur :

(50.88)

En d'autres termes, l'impulsion de la particule reste constante sur toute sa ligne d'Univers.

Mais nous pouvons aussi écrire :

(50.89)

donc :

(50.90)

Une forme plus importante encore de l'équation de mouvement peut-être obtenue.

Effectivement :

(50.91)

alors :

(50.92)

cette relation est donc la forme "sans masse" de l'équation de mouvement dans un espace

euclidien ou autrement dit, dans un espace-temps de type Minkowski. Autrement dit, il existe

donc un système de coordonnées en chute libre dans lequel le mouvement de la particule est

celle d'un déplacement uniforme dans l'espace-temps.

Il sera très intéressant de la comparer avec l'équation de mouvement dans un espace courbe

que nous verrons plus loin (appelée "équation des géodésiques").

Remarque: Il est équivalent d'écrire les relations des équations de mouvement par rapport à

l'abscisse curviligne propre ds ou au temps propre dt.

Nous pouvons maintenant montrer que l'équation du mouvement, au même titre que l'équation

des géodésiques que nous verrons de suite après, est invariante par transformation de Lorentz :

(50.93)

Maintenant, voyons une forme plus générale de l'équation du mouvement pour tout type

d'espace. L'objectif ici, est de mettre en évidence, et ce en quelques lignes de calculs, que le

mouvement suivie par une particule libre est indépendant de sa masse (vous pouvez déjà

anticiper sur l'interprétation de la trajectoire d'un photon dans un espace courbe...!).

Nous avons démontré en calcul tensoriel (et précédemment) que:

(50.94)

ce qui donne pour le lagrangien généralisé d'une particule libre

avec (nous retrouvons bien l'expression générale de l'énergie

cinétique) :

(50.95)

où t est le temps propre de la particule, c'est un invariant !

Remarque: Cette relation est appelée "lagrangien géodésique" par certains auteurs.

Rappel : Le temps propre est une sorte d'horloge imaginaire qui voyage sur la particule et

quelque soient les observateurs qui regardent l'horloge, ils seront mathématiquement d'accord

sur la valeur de l'intervalle de temps entre deux "TIC" de l'horloge.

Ce qui nous permet d'écrire (attention il faut bien se rappeler des différentes relations que nous

avions déterminées lors de notre étude du formalisme lagrangien dans le chapitre traitant des

la Mécanique Analytique):

(50.96)

Remarque: L'élimination du facteur 1/2 du Lagrangien provient de la symétrie du tenseur

métrique. Si ce dernier n'est pas symétrique, nous pouvons toujours le caractériser par un tenseur

qu'il l'est.

Effectivement, soit un vecteur de coordonnées et soit :

(50.97)

Les ne sont pas symétriques a priori, mais nous pouvons écrire :

(50.98)

Nous posons ensuite :

(50.99)

Donc :

(50.100)

et les sont symétriques.

La forme quadratique q peut donc toujours s'écrire avec une matrice symétrique, il y a même

bijection. La conclusion étant qu'un tenseur métrique doit être symétrique si l'on veut le

caractériser par la forme quadratique qu'il définit.

L'interlude mathématique étant terminé, continuons notre développement physique. Par

conséquence de la dernière relation l'expression de l'Hamiltonien devient bien évidemment:

(50.101)

puisque nous considérons être dans un espace sans champ de potentiel. Le carré de la vitesse

étant dès lors constant sur toute la trajectoire, nous avons:

(50.102)

Etablissons maintenant les équations du mouvement de tout corps. Nous avons :

et (50.103)

et comme :

(50.104)

alors :

(50.105)

d'où :

(50.106)

en mettant en commun :

(50.107)

que nous pouvons écrire identiquement pour les en procédant de façon identique à ci-

dessus.

La relation précédente donne donc la trajectoire d'un corps en mouvement, dans un espace

sans champ de potentiel, en fonction de ses coordonnées curvilignes et de la métrique de

l'espace considéré.

Ce qui est particulièrement intéressant dans ce résultat, c'est que la masse m (à

nouveau) s'élimine identiquement dans cette équation du mouvement :

(50.108)

Remarquez, que nous aurions pu utiliser aussi un autre paramètre invariant que le temps

propre tel que l'abscisse curviligne ds. Dès lors l'équation précédente s'écrirait :

(50.109)

Nous pouvons encore simplifier cette relation mais nous garderons cette simplification pour la

deuxième démonstration de l'équation du mouvement dans un espace quelconque (en faisant

usage du principe variationnel cette fois) juste après.

Il est très (très) intéressant d'observer que si nous restreignons la métrique à un espace

euclidien :

(50.110)

avec :

(50.111)

Nous obtenons alors la simplification :

(50.112)

Nous retrouvons donc la première équation du mouvement obtenue pour un espace plat! Le

résultat est remarquable !

Conclusion : Aux mêmes conditions initiales de position et de vitesse curvilignes dans un

espace (plat ou courbe) sans champ de potentiel (c'est ce que nous pourrions penser du moins

selon nos hypothèse initiales...), correspond la même trajectoire quelle que soit la masse m de

la particule (même pour les photons - la lumière - dont la masse est nulle!!).

Nous pouvons maintenant étudier le principe de moindre action dans le but de rechercher le

plus court chemin (aussi bien au niveau spatial que temporel) entre deux points dans un espace

de géométrie donnée avant de s'attaquer au cas beaucoup plus complexe du lagrangien qui

prend en compte le tenseur des champs...

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