Notes sur l'équations d'onde électromagnetique - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équations d'onde électromagnetique - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'équations d'onde électromagnetique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la théorie de Maxwell, les rappels, l'équation de helmoltz, l'énergie véhiculée.
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ÉQUATIONS D'ONDE ÉLECTROMAGNETIQUE

Maxwell supposa que l'onde électromagnétique était une combinaison des phénomènes

qu'explicitent la troisième et quatrième équation. Si une onde électromagnétique est éloignée

de sa source on peut alors négliger la densité superficielle de courant de la source comme

ayant une influence nulle sur l'onde (nous disons alors que ce sont les équations de Maxwell

sans source dont nous avons déjà fait mention plus haut). Alors, les troisième et quatrième

équations de Maxwell s'écrivent :

et (37.197)

Les champs d'excitation magnétique et électrique étant perpendiculaires, plaçons-les de

façon commode dans un système d'axes orthogonaux unitaires et euclidiens

appartenant à en choisissant que:

et (37.198)

Remarque: Attention! Il faut bien se rappeler que dans ce qui suit, Hest la composante

en z de et E la composante en y de.

Le calcul (simple) de et donne, après simplification:

et (37.199)

d'où:

et (37.200)

En identifiant les termes semblables, nous obtenons "l'équation de propagation" du champ

électrique :

(37.201)

et procédant de manière identique :

(37.202)

relations qui sont toutes deux de la forme d'une équation d'onde (cf. chapitre de Mécanique

Ondulatoire) de la forme (rappel) d'une équation de Poisson (plus particulièrement il s'agit

d'une équation de d'Alembert) :

(37.203)

où nous avons :

et (37.204)

La vitesse de propagation de l'onde électromagnétique dans le vide est donc:

(37.205)

les unités ainsi que les valeurs numériques concordent...

La vitesse de propagation de l'onde électromagnétique dans la matière est donc:

(37.206)

car l'expérience montre que nous ne pouvons dépasser la vitesse de la lumière, ce qui est

un des postulats de la relativité restreinte et générale.

Donc nous pouvons finalement écrire :

(37.207)

soit en utilisant le d'Alembertien en une dimension :

(37.208)

A défaut d'avoir trouvé l'expression directe de E(x,t) et B(x,t), nous venons d'obtenir des

équations différentielles ne contenant qu'un seul de ces champs. Nous appelons ces équations

respectivement "équation d'onde pour le champ électrique" et "équation d'onde pour le champ

d'induction magnétique".

Elles ont la même forme et admettent une solution du même type. Une solution évidente et

particulière (nous laissons le soin au lecteur de faire cette vérification) des ces équations

différentielles est la fonction trigonométrique sinus:

(37.209)

en se rappelant la relation entre la pulsation , la vitesse de propagation c et le nombre

d'onde k que nous avions démontré dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire.

Une solution plus générale est la somme des solutions triviales (cf. chapitre de Calcul

Différentiel Et Intégral) :

(37.210)

Mais nous avons vu lors de notre étude des phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire)

que cette solution réelle n'est qu'un cas particulier d'une solution plus générale et se trouvant

dans le corps des complexes. Donc finalement, nous pouvons écrire :

(37.211)

ce qui constitue l'onde plane monochromatique qui est le type d'onde le plus simple à

manipuler en physique.

En trois dimensions, la solution est par extension :

(37.212)

Remarque: L'onde monochromatique ne peut pas représenter une réalité physique. En effet, si

nous calculons l'énergie électrique associé à tout l'espace, nous obtenons pour celle-ci une

énergie infinie (car elle n'a ni début, ni fin!) ce qui n'est pas réaliste.

Or, l'équation des ondes est linéaire (solution est toujours la somme d'autres solutions). Donc

ceci implique qu'une superposition d'ondes de fréquences différentes (nombre d'onde et

pulsation aussi alors!) est également solution. Ainsi, en variant le vecteur d'onde (et

implicitement via sa norme, la pulsation, la fréquence et la période) nous balayons également

l'ensemble des directions de propagation possibles.

Ecrit mathématiquement cela donne, pour le champ électrique :

(37.213)

et rien ne nous empêche de sortir un coefficient de l'amplitude initiale du champ tel que :

(37.214)

et nous retrouvons donc ici une relation très similaire une transformée de Fourier inverse (cf.

chapitre sur les Suites Et Séries) ce qui est remarquable! Alors l'astuce consiste maintenant à

poser car la relation précédente n'est alors pas qu'une simple analogie avec la

transformée de Fourier, c'est une transformée de Fourier!

Nous pouvons donc relier le champ réel au champ :

(37.215)

Ces deux relations étant souvent condensées sous la forme :

(37.216)

Le champ réel est donc à l'instant initial la transformée de Fourier inverse du champ . Le

terme représente donc la composante spectrale liée au vecteur d'onde particulier du

champ réel. Cette solution générale de l'équation des ondes s'appelle un "paquet d'ondes"

Rappels :

R1.Identiquement à la mécanique ondulatoire (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire), les

coefficients (pulsation) et (nombre d'onde) sont exigés pour exprimer la variation du sinus

par des radians et pour lui donner une direction et une pulsation.

R2. La périodicité dans le temps de la fonction sinus impose:

(37.217)

d'où la définition de la période de l'onde :

(37.218)

R3. La périodicité dans l'espace donne permet de définir façon identique la longueur d'onde de

la fonction comme :

(37.219)

Nous constatons donc que l'onde plane se déplace selon x en parcourant une distance en un

temps T. La vitesse de l'onde électromagnétique est alors:

(37.220)

En introduisant:

(37.221)

dans nous obtenons le résultat remarquable pour l'onde plane oscillatoire:

(37.222)

équation de helmoltz

Maintenant, examinons en détail une autre solution de la forme :

(37.223)

où cette fois-ci, nous faisons explicitement mention des coordonnées afin d'éviter toute

confusion.

Remarque: La solution particulière avec le cosinus est plus appréciée par les enseignants que

celle avec le sinus car elle permet comme nous allons le voir, une écriture condensée avec les

phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire).

Si nous utilisons la notion de phaseur, nous pouvons récrire cette solution sous la forme :

(37.224)

Donc :

(37.225)

dans l'équation d'onde :

(37.226)

nous obtenons :

(37.227)

qui n'est d'autre que "l'équation de Helmoltz" (pour l'électrodynamique) à une dimension. Il

s'agit bêtement de l'équation d'onde écrite d'une manière traditionnelle particulière que nous

retrouvons dans de nombreux autres domaines de la physique.

Énergie véhiculée

Il est évident que toute onde électromagnétique transporte donc de l'énergie. Exprimons la

valeur de cette énergie.

La direction de propagation d'une onde électromagnétique étant celle du vecteur , nous

définissons alors le vecteur de Poynting comme:

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