Notes sur l'espace affine, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur l'espace affine, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur l'espace affine. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la notion "d'espace affine", les espaces vectoriels euclidiens.
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Espace Affine

L'espace G de la géométrie élémentaire est à la fois usuel et la source de la notion "d'espace affine"

que nous allons introduire.

Cet espace G est associé à "l'espace vectoriel" géométrique V par la correspondance entre flèches

et vecteurs étudiés jusqu'ici! La définition suivante ne fait que mettre en évidence les traits

dominants de cette correspondance :

Définition: Soit U un ensemble non vide d'éléments que nous appellerons "points" et désignerons

par les lettres P, Q, ... ; soit en outre E un espace vectoriel. Supposons qu'à tout couple de points

(P,Q) corresponde un vecteur noté . Nous disons alors que U est un "espace affine" d'espace

directeur (ou dit simplement abusivement de "direction") E si les conditions suivantes sont

satisfaites :

C1. Pour tout point P fixé, la correspondance entre couples (P,Q) et vecteurs est biunivoque,

autrement dit, pour tout vecteur il existe un point Q et un seul tel que .

C2. Pour tout triplet de points (P,Q,R) :

(12.38)

C'est la fameuse "relation de Chasles"-

C3. Si P est un point et un vecteur, pour exprimer que Q est l'unique point tel que ,

nous écrivons:

(12.39)

Bien qu'un peu abusive, cette écriture est conforme à l'usage et suggère bien le sens de l'opération

qu'elle désigne.

Les propriétés suivantes découlent directement de la définition d'espace affine :

P1.

P2. Pour tout point P, . Cela résulte de la condition dans le cas où nous

avons .

P3. . Il suffit de poser R=P dans la relation de Chasles .

P4. Règle du parallélogramme :

Soit le polygone de sommets (dans le sens des aiguilles d'un montre) et

arêtes :

Nous avons :

(12.40)

si et seulement si :

(12.41)

ce qui donnerait alors un parallélogramme!

En effet, en remplaçant R par Q' dans la relation de Chasles il vient :

(12.42)

et en faisant de même mais en remplaçant R par Q' et Q par P' nous avons :

(12.43)

Nous avons alors en égalisant ces deux dernières relations :

(12.44)

ce qui force l'égalité susmentionnée que nous voulions démontrer.

Précédemment, nous avons vu ce qui faisait qu'un espace G pouvait être muni d'une structure

d'espace vectoriel (nous avons vu que nous disons que ce dernier était dès lors "vectorialisé").

Dans le cas général d'un espace affine U, le procédé est le même :

Nous choisissons un point quelconque O de U. La correspondance entre couples et

vecteurs de l'espace directeur étant alors biunivoque nous définissons l'addition de points et la

multiplication d'un point par un scalaire par les opérations correspondantes sur les vecteurs de E.

Muni de ces deux opérations, U devient un espace vectoriel, appelé "vectorialisé de U relativement

à O". Nous désignerons cet espace par et appellerons O "l'origine".

Vu la manière dont les opérations ont été définies, il résulte que est isomorphe à l'espace

directeur E:

(12.45)

Toutefois, cet isomorphisme dépend du choix de l'origine O et en pratique cette origine est choisie

sur la base, de données inhérentes aux problèmes posés. Par exemple, si une transformation

affine admet un point invariant (qui ne bouge pas), il y a avantage à choisir ce point comme

origine.

Remarques:

R1. Lorsque nous parlons de dimension d'un espace affine, nous parlons de la dimension de son

espace directeur.

R2. L'espace G de la géométrie élémentaire est un espace affine. En effet, sa direction est l'espace

géométriqueV et les conditions de définition d'un espace affine sont satisfaites. Il faut bien noter

qu'au couple de points est associé le vecteur et non pas la flèche PQ. En fait, la flèche

pouvant être identifiée au couple de points, nous voyons que ce que postule la définition d'un espace

affine n'est rien d'autre qu'une forme abstraite de correspondance entre flèches et vecteurs.

R3. Tout espace vectoriel E peut être considéré comme un espace affine de direction E lui-même si

au couple de vecteurs est associé le vecteur . En effet, les conditions de définition d'un

espace affine sont dès lors satisfaites.

ESPACEs VECTORIELs EUCLIDIENs

Avant de définir ce qu'est un espace vectoriel euclidien, nous allons au préalable définir quelques

outils mathématiques et quelques concepts.

Nous pouvons, en choisissant une unité de longueur, mesurer l'intensité de chaque flèche,

autrement dit, déterminer sa longueur. Nous pouvons aussi mesurer l'écart angulaire de deux

flèches (ou vecteurs) quelconques d'origine commune (non nécessairement distinctes) en prenant

comme unité de mesure d'angle par exemple le radian. La mesure de cet écart est alors un nombre

compris entre 0 et , appelé "angle" des deux flèches. Si les deux flèches ont même direction et

même sens, leur angle est nul et si elles ont même direction et sens opposé, ce même angle est

.

Les flèches représentatives d'un même vecteur ont toutes la même longueur. Nous désignerons

cette longueur par la notation:

(12.46)

et l'appellerons "norme" de . Il est clair que la longueur d'un vecteur est nulle si et seulement si

sa norme est nulle. Nous dirons qu'un vecteur est unitaire si sa norme est 1.

Si est un vecteur non nul :

(12.47)

est un vecteur unitaire colinéaire (nécessairement...) à dont la norme est égale à l'unité et que

nous notons .

Nous appellerons "angle des vecteurs non nuls" et l'angle de deux flèches d'origine

commune représentant l'une et l'autre .

Plus rigoureusement cependant une "norme" sur un espace vectoriel réel (ou complexe) E est une

application vérifiant les propriétés :

P1. Positivité :

(12.48)

P2. Linéarité :

(12.49)

P3. Nullité :

(12.50)

P4. Inégalité de Minkowski (inégalité triangulaire) :

(12.51)

Remarques:

R1.Ces propriétés sont principalement imposées par notre approche intuitive de l'espace euclidien et

de son interprétation géométrique.

R2. Nous démontrerons un peu plus loin la propriété P4 sous la dénomination "d'inégalité

triangulaire" et nous ferons une étude un peu plus générale de cette inégalité sous la dénomination

"d'inégalité de Minkowski" dans le chapitre de Topologie.

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