Notes sur l'intégration de fonctions complexes - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur l'intégration de fonctions complexes - 1° partie, Notes de Mathématiques

PDF (97.0 KB)
9 pages
440Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur l'intégration de fonctions complexes - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'intégration, le "théorème de Cauchy", le calcul, la convergence d'une série.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 9
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

INTÉGRATION DE FONCTIONS COMPLEXES

Nous venons de voir précédemment comment vérifier si une fonction complexe f(z) était

dérivable (elle doit au moins respecter les équations de Cauchy-Riemann) en tout point et

comment calculer celle-ci avec quelques exemples simples.

Maintenant voyons le cas contraire qui est... l'intégration (cas numérique de la recherche de

primitive pour rappel).

Nous avons bien évidemment en reprenant les notations vue dans le chapitre de Calcul

Différentiel et Intégral:

(17.87)

soit sous forme explicite:

(17.88)

Bon cette expression établie faisons une petite explication quand à sa lecture:

1. Nous savons que u et v dépendent les deux dans le cas général dex et y.

2. Nous savons que u et v représentent (voir exemples au début du chapitre) des courbes

fermées ou ouvertes ainsi que des droites lorsque x ou respectivement y sont fixés et que

l'autre variable associée elle varie!

Donc chacun des termes comportant une intégrale dans l'expression écrite précédemment est

une intégrale curviligne sur une famille de courbes ouvertes ou fermées (donc un cas particulier

sont les droites...)!

Cette intégrale peut être évaluée en utilisant le théorème de Green dans le plan (cf. chapitre de

Calcul Vectoriel) si nous considérons le cas particulier d'un chemin curviligne fermé tel que:

(17.89)

Nous avions effectivement démontré (il est très fortement conseillé de relire ce théorème de

Green) dans le chapitre de Calcul Vectoriel que:

(17.90)

Ce qui s'écrit dans notre situation:

(17.91)

Or, si la fonction est holomorphe et satisfait donc aux équations de Cauchy-Riemann nous

avons immédiatement:

(17.92)

Ainsi notre intégrale se réduit dans le cas particulier d'un chemin fermé:

(17.93)

Et.... réutilisons le théorème de Green:

(17.94)

Or, si la fonction est holomorphe (donc pour dérivable en tout point du plan complexe ou d'un

sous-ensemble ouvert de celui-ci) et satisfait donc aux équations de Cauchy-Riemann nous

avons immédiatement:

(17.95)

et nous obtenons ainsi le "théorème de Cauchy" qui dit que si une fonction est holomorphe

(satisfait donc les équations de Cauchy-Riemann) et intégrée sur un contour fermé alors:

(17.96)

Comme corollaire (sans démonstration), toute fonction qui satisfait à la relation précédente est

holomorphe (dans tout le plan complexe ou un sous-ensemble ouvert de celui-ci).

A l'aide de ce résultat, faisons un exemple important qui nous sera utile par la suite.

Calculons:

(17.97)

Pour cela, nous allons utiliser la simplification qui consiste à se rappeler (cf. chapitre

Nombres) que:

(17.98)

Donc:

(17.99)

Nous pouvons alors écrire l'intégrale curviligne comme:

(17.100)

Or comme sur un chemin fermé dérivable en tout point (donc sans sommets) l'angle à parcourir

pour faire un tour complet ira nécessaire de 0 à . Il vient alors:

(17.101)

Avant de continuer remarquons un fait intéressant et important: Une intégrale (on ne parle pas

de la primitive mais de l'intégrale!) d'une fonction du type 1/x dans ne serait pas calculable.

Or si nous généralisons le concept à , nous voyons que nous contournons... (le jeu de mot...)

la singularité via une intégrale de chemin qui entoure la singularité. Et... et... dans notre calcul

précédent z pourrait tout à fait avoir que la valeur réelle et pas l'imaginaire. Donc l'intégrale de

1/x devient alors calculable et a un résultat dans les complexes ce qui est remarquable!

Certains mathématiciens interprètent cela en figurant que 1/x est une projection plane d'un

espace tridimensionnel dont l'axe imaginaire est perpendiculaire au plan . D'où le fait que

1/x soit intégrable dans .... mais bon c'est une interprétation...

Enfin, indiquons que 1/z est holomorphe sur tout le plan complexe excepté en 0 (la dérivée

étant la même que pour 1/x).

Ceci étant fait, faisons un calcul similaire:

(17.102)

où est un nombre complexe constant. Posons:

(17.103)

Nous pouvons alors écrire:

(17.104)

qui n'est valable à nouveau que si notre chemin d'intégration évite sinon quoi il y a une

singularité. Cette dernière intégrale est donc une petite généralisation simpliste de la

précédente.

Maintenant montrons le théorème important qui nous intéresse au fait depuis le début de ce

chapitre en utilisant les nombreux résultats démontrés jusqu'ici!

Nous savons que si une fonction f(z) satisfait aux équations de Cauchy-Riemann, alors si nous

évitons soigneusement la valeur (comme dans les calculs précédents), l'expression:

(17.105)

est aussi dérivable en tout point excepté en (donc l'expression n'est plus holomorphe)

appelé qui est donc une singularité.

Effectivement, prendre une fonction holomorphe f(z) satisfaisant Cauchy-Riemann et y

soustraire une constante ne change en rien le fait que l'expression (le numérateur dans la

relation précédente) restera holomorphe. Enfin, multiplier celle ci par une fraction

(dénominateur de la relation précédente) qui est elle aussi holomorphe donne une fonction

holomorphe. Mais des singularités peuvent alors apparaître, nous parlons alors de "fonctions

méromorphes" (il s'agit du rapport de deux fonctions holomorphes).

Dès lors, si nous en prenons l'intégrale curviligne sur un chemin fermé évitant de passer par ,

le théorème de Cauchy nous donne immédiatement (voir la démonstration plus haut):

(17.106)

Or, ceci s'écrit aussi après réarrangement des termes:

(17.107)

Soit:

(17.108)

Or, nous avons démontré plus haut que:

(17.109)

Il vient alors le résultat appelé "théorème intégral de Cauchy", ou plus rarement "formule de

Cauchy", dont il existe une forme généralisée:

(17.110)

Au fait, dans la pratique toute la subtilité est de pouvoir ramener une fonction g(z) holomorphe

(qui satisfait donc les équations de Cauchy-Riemann) en la manipulant à une forme du type:

(17.111)

quand c'est possible.... alors le calcul de son intégrale (de chemin fermé) devient extrêmement

simple puisqu'elle sera égale à:

(17.112)

de par le théorème intégral de Cauchy.

Remarque: Nous savons donc calculer la valeur d'une intégrale curviligne d'une expression non

holomorphe mais dont le numérateur lui l'est.

Il a une relation équivalente pour la dérivée à celle donnée par le théorème intégral de

Cauchy. Voyons cela:

(17.113)

Donc:

(17.114)

en continuant ainsi, nous avons:

(17.115)

bref nous remarquons donc que:

(17.116)

qui n'est d'autre que le "théorème intégral de Cauchy généralisé".

Ce résultat est très puissant car il montre que les fonctions holomorphes sont infiniment

dérivables (à cause du dénominateur), soit analytiques, et il est beaucoup plus difficile de

trouver un théorème équivalent avec des conditions aussi simples pour les fonctions réelles.

Si nous revenons maintenant à notre développement de Taylor d'une fonction complexe:

(17.117)

humm... et que voyons-nous ici? Eh bien ceci! :

(17.118)

Il en découle la relation suivante appelée "série de Laurent à puissances positives" (il en existe

une version plus généralisée que nous allons démontrer plus tard):

(17.119)

qui donne donc l'expression formelle d'une fonction complexe sous forme de série infinie de

puissances entières à proximité d'un point du plan complexe avec donc:

(17.120)

Nous constatons que l'ensemble des deux relations précédentes nous redonne le

développement en série de Taylor que nous avions obtenue en analyse réelle (cf. chapitre de

Suites et Séries) et qui était:

(17.121)

Ainsi, les séries de Taylor ne sont qu'un cas particulier des séries de Laurent.

Ceci est assez remarquable comme résultat car cela montre aussi que nous pouvons utiliser

l'intégrale curviligne sur le plan complexe pour calculer les coefficients de la série de Taylor

au lieu de calculer les dérivées d'ordre n de la fonction f si ces dernières s'avéreraient trop

compliquées à déterminer. Ou inversement.... calculer une simple dérivée au lieu de calculer

une intégrale curviligne casse-tête (typiquement le cas en physique) en utilisant le fait que:

(17.122)

Le seul point malheureux étant que cette dernière relation n'est calculable que si nous arrivons

à mettre la fonction dans l'intégrale curviligne sous la forme:

(17.123)

où n est un entier positif ou nul. Ceci est franchement loin d'être aisé dans la grande majorité

des cas! L'idée serait alors de trouver un chemin général pour l'intégrale curviligne, valable pour

toute fonction f(z) tel que ce dénominateur (qui contient en plus un singularité en )

disparaisse. Ce serait l'idéal... mais il nous faut une piste... et celle-ci va venir de l'étude de la

convergence des séries de puissance complexes. Voyons de quoi il s'agit avec une approche

qualitative!

CONVERGENCE D'UNE SÉRIE

Nous avons vu dans le chapitre de Suites et Séries que nombre de fonctions réelles pouvaient

être exprimées en série de MacLaurin (cas particulier des séries de Taylor en ) sous la

forme:

(17.124)

Nous y avions également montré, uniquement par l'exemple, que ce développement en série de

puissance infinie n'était valable pour certaines fonctions réelles que dans un certain domaine de

définition appelé "rayon de convergence".

Même si ce rayon de convergence peut être déterminé plus ou moins facilement au cas par cas,

il y a certains exemples déroutants qui ne pouvaient pas au début de 19ème siècle être compris

sans l'analyse complexe.

Voyons un exemple simple pour comprendre de quel type de problème il s'agit. Considérons

pour cela les deux fonctions:

et (17.125)

et vant de continuer notre exemple, rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de

Suites et Séries la relation:

(17.126)

concernant les séries géométriques. C'est-à-dire les séries dont les termes sont du type :

(17.127)

Il vient dès lors immédiatement si et nous avons:

(17.128)

Si , nous avons:

(17.129)

Donc si nous changeons la notation, nous avons:

(17.130)

Il vient alors immédiatement:

et (17.131)

Donc les deux fonctions g(x) et f(x) précédentes sont définies pour un développement en série

infinie de puissance uniquement dans un rayon de convergence .

Nous obtiendrions donc le même résultant en faisant un développement en série de MacLaurin!

Nous voyons trivialement qu'il y a pour g(x) deux singularités qui sont par contre,

basiquement nous n'en voyons pas trivialement pour h(x) si nous raisonnons uniquement

dans donc il peut être difficile pour cette dernière fonction de comprendre le rayon de

convergence.

Effectivement, si nous traçons ces deux fonctions dans avec Maple nous obtenons

respectivement:

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome