Notes sur l'intégration de fonctions complexes - 2° partie., Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur l'intégration de fonctions complexes - 2° partie., Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur l'intégration de fonctions complexes - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le problème, le graphique.
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et

(17.132)

d'où le problème de savoir pourquoi il y a quand même implicitement un rayon de

convergence pour h(x)???

Une manière encore plus flagrante de mettre en évidence le problème c'est de montrer

l'approche de ces deux fonctions par un développement en série de MacLaurin avec dix termes:

Pour g(x) nous avons:

with(plots):

> xplot := plot(1/(1-x^2),x=-5..5,thickness=2,color=red):

> tays:= plots[display](xplot):

> for i from 1 by 2 to 10 do

> tpl := convert(taylor(1/(1-x^2), x=0,i),polynom):

> tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-5..5,y=-2..2,

> color=black,title=convert(tpl,string))]) od:

> plots[display]([tays],view=[-5..5,-2..2]);

(17.133)

où nous voyons bien que la série de MacLaurin (ou l'expression en série de puissance) ne

converge pas en dehors de ce qui peut est intuitif à cause des deux singularités.

Pour h(x) nous avons par contre:

>with(plots):

> xplot := plot(1/(1+x^2),x=-5..5,thickness=2,color=red):

> tays:= plots[display](xplot):

> for i from 1 by 2 to 10 do

> tpl := convert(taylor(1/(1+x^2), x=0,i),polynom):

> tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-5..5,y=-2..2,

> color=black,title=convert(tpl,string))]) od:

> plots[display]([tays],view=[-5..5,-2..2]);

(17.134)

où nous voyons bien que la série de MacLaurin (ou l'expression en série de puissance) ne

converge pas en dehors de ce qui était déstabilisant et contre intuitif au début de

l'histoire de l'analyse réelle.

Aujourd'hui même un élève du secondaire sait qu'il est possible de raisonner aussi dans et

que . Donc l'analyse réelle n'est qu'un cas particulier et restreint de l'analyse complexe.

La singularité pour h(x) dans vient alors dû fait que celle-ci s'écrit alors:

(17.135)

et qu'il y a donc deux singularités pour ce que nous voyons bien si nous

représentons:

(17.136)

avec Maple (heureusement que nous avec maintenant l'équivalent d'un microscope dans la

mathématique...):

>plot3d(abs(1/(1+(re+I*im)^2)),re=-3..3,im=-3..3,view=[-2..2,-2..2,-2..2],orientation=[-

130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

(17.137)

où nous voyons bien les deux singularités sur l'axe imaginaire et la fonction h(x) sur l'axe réelle

(entre les deux pics). Donc lorsque nous développons une fonction en série, nous concluons

que son rayons de convergence est défini par tout le plan complexe et non par l'axe traditionnel

de l'analyse réelle.

Il est ainsi plus naturel de comprendre pourquoi nous parlions dans le chapitre de Suites et

Séries de "rayon" car vu du dessus nous avons dans le plan complexe:

(17.138)

d'où le fait que nous parlons tantôt de disque de convergence (ouvert) et de rayon de

convergence (ouvert). Par ailleurs nous remarquons sur le graphique que le domaine de

convergence est connexe (tout couple de points du domaine de convergence peut être relié par

une droite qui est dans le domaine de convergence).

Remarque: Rappelons qu'un sous-ensemble, intervalle ou disque "ouvert" signifie que nous n'en

prenons pas les bords.

Nous comprenons alors mieux pourquoi la série de Taylor ne convergait pas trivialement

pour h(x): elle doit converger sur toute le disque de convergence du plan complexe et pas

seulement converger sur l'axe réel!

De tout ceci il en découle que notre série de Laurent à puissances positives démontrée plus

haut:

(17.139)

ne converge pas forcément, sans surprise..., sur tout le plan complexe (au même titre que les

séries de Taylor sur la droite réelle puisque il s'agit de l'équivalent!) mais parfois uniquement

dans un sous-domaine (connexe?) ouvert de ce plan autour de (qui dans l'exemple

particulier pris ici valait donc: 0).

Avec notre fonction h(x) exprimée en utilisant un développement de MacLaurin sur 6 termes,

nous voyons immédiatement avec Maple que sur les bords du carré inscrit au disque de

convergence, la série ne converge plus et nous y devinons le début des deux singularités:

>plot3d(abs(1-(re+I*im)^2+(re+I*im)^4-(re+I*im)^6+(re+I*im)^8),re=-0.7..0.7,im=-

0.7..0.7,view=[-1.5..1.5,-1.5..1.5,0..1.5],orientation=[-

130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

(17.140)

un peu en dehors du disque de convergence nous avons évidemment un peu n'importe quoi:

>plot3d(abs(1-(re+I*im)^2+(re+I*im)^4-(re+I*im)^6+(re+I*im)^8),re=-3..3,im=-3..3,view=[-

1.5..1.5,-1.5..1.5,0..1.5],orientation=[-

130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

(17.141)

Il y quand même quelques chose d'intéressant à essayer... puisque nous sommes maintenant

sur un plan, et non plus sur une droite, il nous est possible de faire le développement de Taylor

autour d'une singularité en déformant la disque convexe en un couronne simplement

connexe telle que présentée ci-dessous (la couronne étant aussi la géométrie simplement

connexe la plus simple découlant de la déformation d'un disque):

(17.142)

L'intérêt de ceci est de pouvoir déformer le domaine de convergence sur tout le plan complexe

en évitant (contournant) toutes les singularités. Ainsi, contrairement aux séries de Taylor qui ne

sont valables que sur un intervalle de l'axe des abscisses, nous aurions un nouveau type de

série décrivant une fonction absolument partout, c'est-à-dire avant ET après (donc autour...) les

singularités!

Donc évidemment nous allons imposer que dans la couronne déformée ci-dessus la fonction

soit toujours holomorphe et analytique (comme dans le disque convexe initial). Avant de

déterminer ce sur quoi nous allons tomber (série de Laurent généralisée), il nous d'abord faire

un étude de la décomposition d'une intégrale en chemins:

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