Notes sur l'introduction aux notions mathématiques - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur l'introduction aux notions mathématiques - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur l'introduction aux notions mathématiques - 1° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:le calcul vectoriel,la notion de flèche,l'ensemble des vecteurs,les pseudo-vecteurs,la multip...
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Le calcul vectoriel ou "analyse vectorielle" est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens (voir définition

plus loin).

L'importance du calcul vectoriel provient de son utilisation intensive en physique et dans les

sciences de l'ingénieur. C'est de ce point de vue que nous la présenterons, et c'est pourquoi nous

nous limiterons le plus souvent au cas de l'espace usuel à trois dimensions. Dans ce cadre, un

champ de vecteurs associe à chaque point de l'espace un vecteur (à trois composantes réelles),

tandis qu'un champ de scalaires y associe un réel.

Remarque:Imaginons par exemple l'eau d'un lac. La donnée de sa température en chaque point

forme un champ de scalaires, celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs (voir

définition plus loin).

Des notions physiques telles que la force ou la vitesse sont caractérisées par une direction, un

sens et une intensité. Ce triple caractère est mis en évidence par les flèches. Celles-ci sont à

l'origine de la notion de vecteur et en constituent l'exemple le plus suggestif. Bien que leur nature

soit essentiellement géométrique, c'est leur aptitude à se lier les unes aux autres, donc leur

comportement algébrique, qui retiendra principalement notre attention. Partagé en classes

d'équivalence l'ensemble qu'elles forment représente le modèle classique d'un "espace vectoriel".

Un de nos premiers objectifs est la description détaillée de ce modèle.

Remarques:

R1. Avant de lire ce qui va suivre, nous conseillons au lecteur d'avoir au moins parcouru en

diagonale le chapitre traitant de la théorie des ensembles dans la section d'arithmétique. Nous y

définissons ce qu'est un "espace vectoriel" en utilisant les outils de la théorie des ensembles. Ce

concept bien que non absolument indispensable vaut la peine quand même de s'y attarder pour voir

comment deux domaines des mathématiques s'imbriquent et aussi histoire... d'aborder les choses au

moins un peu rigoureusement.

R2. L'analyse vectorielle contient beaucoup de termes et de définitions qu'il faut apprendre par

coeur. Ce travail est pénible mais malheureusement nécessaire.

NOTION DE FLÈCHE Nous désignerons par U l'espace ordinaire de la géométrie élémentaire et par P, Q, ... ses points.

Nous appellerons "flèche" tout segment de droite orienté (dans l'espace).

La flèche d'origine P et d'extrémité Q sera notée ou abrégé par une lettre unique (latine ou

grecque) choisie arbitrairement tel que par exemple : .

Nous considérerons comme évident que toute flèche est caractérisée par sa direction, son sens

(car pour une direction donnée elle peut pointer dans deux sens), son intensité ou grandeur

(longueur) et ainsi que son origine.

ENSEMBLE DES VECTEURS Définitions:

D1. Nous disons que deux flèches sont "équivalentes" si elles ont la même direction, le même sens

et la même intensité.

D2. Nous disons que deux flèches sont "colinéaires" si elles ont seulement la même direction

Partageons l'ensemble des flèches en classes d'équivalences : deux flèches appartiennent à une

même classe si et seulement si elles sont équivalentes.

D3. Chaque classe d'équivalence de flèches constitue un "vecteur" ou plus exactement un "vecteur

libre" car son origine n'est pas prise en compte (dans le cas où son origine est bien définie, nous

avons alors un "vecteur lié").

Rangeons, en outre, les flèches dégénérées (c'est-à-dire de la forme ) en une classe distinguée

que nous appellerons "vecteur nul" et noterons qui ont une direction et un sens non définis... et

instensité nulle.

L'ensemble des vecteurs sera lui désigné par V. Il faut souligner que les éléments de V sont des

classes de flèches et non pas des flèches individuelles. Il est cependant clair qu'une flèche

quelconque suffit cependant à déterminer la classe à laquelle elle appartient et il est donc naturel

de l'appeler "représentant de la classe" du vecteur.

Traçons le représentant d'un vecteur à partir de l'extrémité d'un représentant d'un vecteur .

La flèche dont l'origine est celle du représentant de et l'extrémité celle du représentant

de détermine un vecteur que nous noterons . L'opération qui associe à tout couple de

vecteurs leur somme s'appelle "addition vectorielle".

(12.1)

A l'aide d'une figure, il est facile de montrer que l'opération d'addition vectorielle est associative et

commutative, autrement dit, que:

(12.2)

et:

(12.3)

Il est en outre évident que le vecteur nul est l'élément neutre de l'addition vectorielle, autrement

dit, que:

et (12.4)

où désigne le vecteur opposé de , c'est-à-dire le vecteur dont les représentants ont la

même direction et la même intensité que ceux de , mais le sens opposé. Deux vecteurs dont la

somme est nulle sont alors appelés "vecteurs opposés" puisque la seule chose qui les différencie

est leur sens...

Il s'ensuit aussi que si deux ou plusieurs vecteurs ont la même direction, la même intensité et le

même sens alors ce sont des "vecteur égaux".

L'opération inverse de l'addition vectorielle est la soustraction vectorielle. Soustraire un vecteur

revient à additionner le vecteur opposé.

Remarques:

R1. L'addition s'étend, par récurrence, au cas d'une famille finie quelconque de vecteurs. En vertu

de l'associativité, ces additions successives peuvent être effectuées dans n'importe quel ordre, ce qui

justifie l'écriture sans parenthèses.

R2. La multiplication entre deux vecteurs est un concept qui n'existe pas. Par contre, comme nous le

verrons un peu plus loin, nous pouvons multiplier les vecteurs par certaines propriétés d'autres

vecteurs que nous appelons la "norme" et encore d'autres petites choses...

PSEUDO-VECTEURS

En physique, lors de l'énoncé de ce que nous appelons le "principe de Curie", les physiciens font

mention de ce qu'ils appellent des "pseudo-vecteurs". Il s'agit du vocabulaire simple pour parler de

quelque chose de tout aussi trivial mais fondamentalement peu de gens en font vraiment usage.

Mais il peut quand même être utile de présenter de quoi il s'agit.

Au fait, vecteurs et pseudo-vecteurs se transforment de la même manière dans une rotation ou

une translation (nous verrons plus tard dans ce chapitre comment effectuer mathématiquement

ces transformations). Il n'en est pas de même dans la symétrie par rapport à un plan ou à un point.

Dans ces transformations nous avons par définition les propriétés suivantes :

P1. Un vecteur est transformé en son symétrique

P2. Un pseudo-vecteur est transformé en l'opposé du symétrique

Voici une figure avec des exemples types (le choix des lettre représentant les vecteurs ne sont pas

du au hasard, elles sont un clin d'oeil aux propriétés des champs électriques et magnétique

étudiés en physique) :

(12.5)

Ben voilà... c'est tout sur les pseudo-vecteurs...

Multiplication par un scalaire

Le vecteur appelé "produit du nombre par ", est défini de la manière suivante:

Prenons une flèche représentative de et construisons un flèche de même direction, de même

sens ou de sens opposé, suivant que est positif ou négatif, et d'intensité fois l'intensité de

la flèche initiale; la flèche ainsi obtenue est un représentant du vecteur ; si ou ,

nous posons .

L'opération qui consiste à effectuer le produit d'un nombre par un vecteur est appelé

"multiplication par un scalaire".

Nous vérifions aisément que la multiplication par un scalaire est associative et distributive par

rapport à l'addition numérique vectorielle, autrement dit que:

(12.6)

Voyons de suite un exemple concret mondialement connu des vecteurs :

RÈGLE DE TROIS

Revenons un peu sur la "règle de trois" (appelée parfois "règles des rapports et proportions" ou

encore "méthode de réduction à l'unité") souvent définie dans les petites classes de manière

intuitive mais sans démonstration digne de ce nom. Cette règle est certainement l'algorithme le

plus usité de par le monde qui sert à identifier un quatrième nombre quand trois sont donnés et

que les quatre nombres sont linéairement dépendants.

La règle de trois est dérivée sous deux versions:

V1. Simple et directe si les grandeurs sont directement proportionnelles

V2. Simple et inverse si les grandeurs sont inversement proportionnelles

et lorsque deux variables X et Y sont proportionnelles nous le notons :

(12.7)

Supposons maintenant que X puisse prendre les valeurs et Y prendra les valeurs

linéairement dépendantes alors:

- Le rapport proportionnel suivant :

(12.8)

est dit "rapport simple et directe".

Démonstration:

Soient deux vecteurs colinéaires et donc proportionnels à un facteur près

tel que :

(12.9)

C.Q.F.D.

Remarque: Si ce rapport n'est pas égal, alors il faut passer à l'utilisation d'autres outils tel que la

régression et in extenso l'extrapolation.

- Le rapport proportionnel suivant :

(12.10)

est dit "rapport simple et inverse".

Démonstration:

Soient deux vecteurs colinéaires et donc proportionnels à un facteur près

tel que :

(12.11)

C.Q.F.D.

Remarque: Si ce rapport n'est pas égal, alors il faut passer à la régression linéaire (cf. chapitre de

Méthodes Numériques).

En gros, il suffit que nous connaissions trois variables sur les quatre pour résoudre cette simple

équation du premier degré.

Les conversions de monnaies ou d'unités de mesure se font à l'aide de la règle de trois simple

directe ou indirecte. Les calculs de parités (calcul prévisionnel fait par un importateur d'un certain

pays ayant ses propres unités de mesures et de monnaie, qui recherche parmi plusieurs offres

étrangères (dans des systèmes d'unités de mesures et de monnaies qui diffèrent de l'importateur),

laquelle est la plus avantageuse ou inversement) se font également avec la règle de trois.

Remarque: Nous appelons également "règle conjointe simple ou inverse", une série de règle de trois

directes ou indirectes.

Dans de tels calculs, les agents du marché d'échange ont remarqué que la plupart du temps, les

rapports étaient des valeurs proches de l'unité. Ils ont été ainsi naturellement amenés à définir "le

pourcentage" comme étant la proportion d'une quantité ou d'une grandeur par rapport à une

autre, évaluée à la centaine (en général du moins ... ) :

Soit un nombre alors sa notation en pourcentage sera:

(12.12)

Soit un nombre alors sa notation en pour-mille sera

(12.13)

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