Notes sur l'introduction aux notions mathématiques - 2° partie., Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur l'introduction aux notions mathématiques - 2° partie., Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur l'introduction aux notions mathématiques - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les définitions.
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Dans la section d'Arithmétique de ce site, nous avons beaucoup écrit sur différentes théorèmes utilisant les nombres abstraits afin de généraliser l'étendue de la validité de ces

dernières. Nous avons cependant peu abordé la façon dont nous devions manipuler ces nombres

abstraits. C'est ce que nous allons voir maintenant.

Comme vous le savez peut-être déjà, le nombre peut être envisagé en faisant abstraction de la

nature des objets qui constituent le groupement qu'il caractérise et ainsi qu'à la façon de codifier

(chiffre arabe, romain, ou autre système...). Nous disons alors que le nombre est un "nombre

abstrait" et lorsque nous manipulons ces types d'objets nous disons que nous faisons du "calcul

algébrique" ou encore du "calcul littéral".

Définition: Le "calcul littéral" consiste à calculer avec des variables (c'est-à-dire avec des lettres)

comme on le ferait avec des nombres.

Pour les mathématiciens il n'est souvent pas avantageux de travailler avec des valeurs numériques

(1,2,3...) car ils représentent uniquement des cas particuliers. Ce que cherchent les physiciens,

ingénieurs ainsi que les mathématiciens, se sont des relations applicables universellement dans un

cadre le plus général possible.

Ces nombres abstraits appelés aujourd'hui communément "variables" sont très souvent

représentés par l'alphabet latin (pour lequel les premières lettres de l'alphabet latin a, b, c, ...

désignent souvent les nombres connus, et les dernières x, y, z, ... les nombres inconnus.),

l'alphabet grec (aussi beaucoup utilisé pour représenter des opérateurs mathématiques plus ou

moins complexes) et l'alphabet hébraïque (à moindre mesure)

Bien que ces symboles puissent représenter n'importe quel nombre, il en existe cependant aussi

bien en physique ou en mathématique quelques uns qui peuvent représenter des constantes dites

Universelles (vitesse de la lumière c, la constante gravitationnelle G, la valeur Pi, le nombre d'Euler,

...).

Remarque: Il semblerait que les lettres pour représenter les nombres ont été employées pour la

première fois par Viète au milieu du 16ème siècle.

Une variable est donc susceptible de prendre des valeurs numériques différentes. L'ensemble de

ces valeurs peut varier suivant le caractère du problème considéré.

Rappels (nous avions déjà défini cela dans le chapitre traitant des Nombres dans la section

d'Arithmétique):

R1. Nous appelons "domaine de définition" d'une variable, l'ensemble des valeurs numériques

qu'elle est susceptible de prendre entre deux bornes.

Soit deux a et b deux nombres tel que a<b. Alors:

R2. Nous appelons "intervalle fermé d'extrémité a et b", l'ensemble de tous les nombres x compris

entre ces deux valeurs et nous le désignons de la façon suivante:

(8.1)

R3. Nous appelons "intervalle ouvert d'extrémité a et b", l'ensemble de tous les nombres x compris

entre ces deux valeurs non comprises et nous le désignons de la façon suivante:

(8.2)

R4. Nous appelons "intervalle fermé à gauche, ouvert à droite" la relation suivante:

(8.3)

R5. Nous appelons "intervalle ouvert à gauche, fermé à droite" la relation suivante:

(8.4)

Remarque: Si la variable peut prendre toutes les valeurs négatives et positives possibles nous

écrivons dès lors: où le symbole " " signifie "infini". Evidemment il peut y avoir des

combinaisons d'intervalles ouverts et infinis à droite, fermé et limité gauche et réciproquement.

Définition: Nous appelons "voisinage de a", tout intervalle ouvert de contenant a (c'est un

concept simple que nous reprendrons pour définir ce qu'est une fonction continue). Ainsi:

(8.5)

est un voisinage de a.

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