Notes sur l'introduction aux notions mathématiques - 3° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur l'introduction aux notions mathématiques - 3° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur l'introduction aux notions mathématiques - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le principe du bon ordre, la démonstration.
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Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs. Plus

généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui

proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres peut être divisée en

plusieurs branches d'étude (théorie algébrique des nombres, théorie calculatoire des nombres,

etc.) en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées.

Remarque: Le terme "arithmétique" était aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres

mais c'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé.

Nous avons choisi de présenter dans cet exposé que les sujets qui sont indispensables à l'étude de

la mathématique et de la physique théorique ainsi que ceux devant faire absolument partie de la

culture générale de l'ingénieur.

1. PRINCIPE DU BON ORDRE

Nous tiendrons acquis ce principe qui dit que que tout ensemble non vide contient un plus

petit élément.

Nous pouvons utiliser ce théorème pour démontrer une propriété importante des nombres appelée

"propriété archimédienne" ou "axiome d'Archimède" qui s'énonce ainsi :

Pour où a est non nul, il existe au moins un entier positif n tel que:

(4.1)

En d'autres termes, pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus

petite, supérieur à la plus grande. Nous appelons "archimédien" des structures dont les éléments

vérifient une propriété comparable (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

Même si cela est trivial à comprendre faisons la démonstration car elle permet de voir le type de

démarches utilisés par les mathématiciens quand ils doivent démontrer des éléments triviaux de

ce type...

Démonstration:

Supposons le contraire en disant que pour nous avons :

(4.2)

Si nous démontrons que cela est absurde pour tout n alors nous aurons démontré la propriété

archimédienne.

Considérons alors l'ensemble:

(4.3)

En utilisant le principe du bon ordre, nous déduisons qu'il existe tel que pour

tout . Posons donc que ce plus petit élément est:

(4.4)

et nous avons donc aussi:

(4.5)

Comme par hypothèse nous devons alors avoir:

(4.6)

et si nous réarrangeons et simplifions:

(4.7)

et que nous simplifions le signe négatif nous devions donc avoir...:

(4.8)

d'où une contradiction évidente!

Cette contradiction amène que l'hypothèse initiale comme quoi pour tout n alors est

fausse et donc que la propriété archimédienne est démontrée par l'absurde.

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