Notes sur l'optique ondulatoire - 1° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'optique ondulatoire - 1° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur l'optique ondulatoire - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le principe d'huygens, la loi de malus, la diffraction de fraunhofer, le cas d'une fente rectangulaire, les défini...
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OPTIQUE ONDULATOIRE

Dans ce chapitre seront dégagés certains éléments qui ont conduit au développement de la

mécanique quantique. Effectivement, la mécanique quantique est née, en premier lieu, d'une

étude attentive de la nature de la lumière. Bien que cette science nouvelle soit développée au

début du 20ème siècle, les considérations qui l'ont guidée alors sont incontestablement le

résultat de 25 siècles de maturation. Au fond, c'est à une longue histoire de la lumière pleine de

contreverses que la mécanique quantique apporte enfin au 20ème siècle une magistrale

conclusion.

PRINCIPE D'HUYGENS Huygens visualisait la propagation de la lumière comme résultant d'un processus de génération

d'ondelettes sphériques en chaque point atteint par un front d'onde, ondelettes dont la somme

donnait le champ en propagation. En traçant la tangente aux fronts d'onde des ondelettes à un

instant donné, on obtenait le front d'onde de l'onde totale à ce même instant.

Nous rappelons qu'une surface d'onde ou "front d'onde" (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire)

est le lieu des points du milieu atteins par le mouvement ondulatoire au même instant. La

perturbation a donc même phase en tous points d'une surface d'onde. Pour une onde plane, par

exemple, la perturbation s'exprime par (nous l'avons démontre dans le chapitre traitant de la

Mécanique Ondulatoire) :

(40.1)

ou dans une formulation plus générale :

(40.2)

qui donne donc l'expression de la propagation de la perturbation pour laquelle la "surface

d'onde" est le lieu des points où la phase a même valeur à un instant donnée. La

surface d'onde est donnée en conséquence par l'équation :

(40.3)

Huygens, a donné une méthode imagée de représentation du passage d'une surface d'one à une

autre dans le cas où l'onde est supposée résulter du mouvement des particules constituant le

milieu matériel. Ainsi, si nous considérons la surface d'onde S ci-dessous :

(40.4)

Quand le mouvement ondulatoire atteint cette surface, chaque particule a,b,c,... de la surface

devient une source secondaire d'ondes, émettant des ondes secondaires (indiquées par les

petits demi-cercles) qui atteignent la couche suivante de particules du milieu. Ces particules

sont mises en mouvement et forment la nouvelle surface d'onde S' et ainsi de suite... Ainsi,

Huygens avait une conception ondulatoire de la lumière, mais il ne considérait pas la nature

périodique de l'onde, ce qui ne lui permettait pas d'introduire la notion de couleur de la

lumière; de plus, selon son principe, une onde se propageant en sens inverse à celui de l'onde

incidente devrait aussi se manifester, ce qui n'est pas le cas dans un matériau homogène.

L'intuition d'Huygens est cependant proche de la réalité, comme le montrera Fresnel dans sa

théorie de la diffraction. Il faudra cependant attendre Kirchhoff, qui introduira un facteur

d'inclinaison (oblicité) dans la théorie, pour obtenir une explication de l'absence d'onde se

propageant vers l'arrière (le temps venu nous rédigerons les développements y relatifs).

LOI DE MALUS

Comme tous les "points correspondants" .sont équidistants, par le

principe d'Huyghens, la "loi de Malus" (la première donc et pas celle obtenue lors de l'étude de

la polarisation de la lumière comme nous le verrons plus loin) affirme que l'intervalle de temps

entre les points correspondants de deux surfaces d'onde est le même pour tout couple de

points correspondants.

Conséquences (se référer en même temps à la figure ci-dessous) :

(40.5)

- Lorsque l'onde se propage dans un milieu homogène, les rayons lumineux doivent être

rectilignes et les surfaces d'onde rester parallèles.

- Lorsque l'onde change de milieu, les distances entre deux paires de points correspondants

varient d'un milieu à l'autre, si les vitesses de propagation sont différentes.

Cette loi permet de retrouver le loi de Descartes-Snellius que nous avons déjà démontré en

optique géométrique, ce qui assure à priori que le principe d'Huygens reste valide dans le cadre

de l'optique géométrique.

Démonstration:

Selon la figure ci-dessus, nous avons :

(40.6)

en divisant chaque terme par , nous obtenons :

(40.7)

Comme nous obtenons donc bien la loi de Descartes-Snellius telle que nous l'avions

obtenu en optique géométrique :

(40.8)

DIFFRACTION DE FRAUNHOFER

Du point de vue de l'optique géométrique, un faisceau lumineux est un cylindre de

section qui rassemble un grand nombre de rayons parallèles. Il est donc supposé rectiligne

lorsqu'il est défini dans un milieu homogène.

L'émittance énergétique du faisceau ne varie que si une lentille (ou un autre

dispositif) fait varier sa section ou si le milieu absorbe de l'énergie.

Le faisceau lumineux "éclate" quand un obstacle ne laisse passer qu'une partie de sa section.

Le principe d'Huygens montre que ce sont les bords de l'obstacle qui engendrent cette

diffraction.

Le phénomène est général mais n'est bien observable que si le rapport est très

grand. L étant la longueur des bords. Cette condition est nécessaire pour que l'intensité de la

partie non diffractée du faisceau ne masque pas l'effet.

Définitions:

D1. Nous parlons de "diffraction de Fraunhofer" lorsque, comme supposé précédemment, les

rayons lumineux incidents sont parallèles et le phénomène observé à relativement grande

distance de l'écran.

D2. Nous parlons de "diffraction de Fresnel" lorsque les rayons incidents forment un faisceau

divergent, en provenance d'une source ponctuelle ou si nous observons le phénomène à faible

distance.

Considérons un cas générique et le plus répandu dans les laboratoires de physique qui est la

diffraction par une fente rectangulaire étroite :

Pour cela, nous considérons que le faisceau incident est une onde électromagnétique plane et

périodique, perpendiculaire à la fente et donnée par :

(40.9)

Rappel : Sa longueur d'onde étant donnée par

CAS D'UNE FENTE RECTANGULAIRE

La largeur e de la fente est orientée selon l'axe y, sa hauteur h est supposée très grande afin de

pouvoir négliger l'effet des extrémités.

Suivant le principe d'Huygens, le front de l'onde plane, délimité par la fente, constitue une

multitude de sources , de largeur dy, qui émettent, en phase, des ondelettes sphérique

décrites par leur vecteur champ associée :

(40.10)

Considérons maintenant un point d'observation P, à une distance R de la source (assimilée à la

fente). Nous avons vu lors de l'étude des sources d'émission de type sphériques (cf. chapitre

d'Électrodynamique) que leur amplitude diminuait de manière inversement proportionnelle à la

distance telle que :

(40.11)

Or, les ondelettes, suivant à quel point de la fente elles sont assimilées, ne vont pas toutes

parcourir la même distance R mais un distance propre r . Cependant, si R est suffisamment

éloigné de la fente, nous nous permettrons d'approximer :

(40.12)

reste encore le terme périodique où nous posons . Or, nous avons pour

valeurs extrêmales :

(40.13)

Ces valeurs correspondant respectivement, à l'avance et au retard des fonctions d'onde

décrivant la propagation des ondelettes dans les extrémités de la fente.

Effectivement, il suffit de voir la figure ci-dessous, en considérant donc et ainsi :

(40.14)

Ainsi, nous avons :

(40.15)

Donc les différentes ondelettes sont déphasées et produisent ainsi des interférences.

Définition: En mécanique ondulatoire, on parle "d'interférences" lorsque deux ondes de même

type se rencontrent. Ce phénomène se rencontre souvent en optique avec les ondes

lumineuses, mais il apparaît également avec les ondes sonores.

L'onde diffractée dans la direction de , est alors donnée par la somme de toutes les

contributions :

(40.16)

Sachant que (relations trigonométrique) :

(40.17)

Nous avons donc :

(40.18)

Nous avions démontré dans le chapitre d'Électrodynamique que l'énergie (in extenso l'intensité)

d'une onde électromagnétique était donnée (dans le vide) par la valeur scalaire moyenne du

vecteur de Poynting :

(40.19)

Nous avons donc :

(40.20)

qui est l'émittance lumineuse émise dans la direction .

Si nous introduisons le sinus cardinal que nous avons déjà rencontré lors de notre étude des

transformées de Fourier dans le chapitre sur les Suites et Séries nous avons alors l'écriture de la

relation précédente qui se trouve nettement condensée:

(40.21)

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