Notes sur l'oscillateur harmonique - 1° partie, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'oscillateur harmonique - 1° partie, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de physique sur l'oscillateur harmonique - 1° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'étude de l'oscillateur harmonique, le rapport,les démonstrations, les remarques.
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OSCILLATEUR HARMONIQUE

L'étude de l'oscillateur harmonique correspondant à celle d'une fonction d'onde coincée dans

un puits de potentiel parabolique. Ce qui est assimilable grosso modo aux atomes où les parois

du puits de potentiel ne sont naturellement pas rectangulaires et infinies... L'étude qui va suivre

est donc ce qui est le plus proche de ce qui est disponible dans la Nature au atomique.

Dans le cas d'une particule libre en déplacement rectiligne, nous avons vue que l'énergie

potentielle est nulle et l'équation de Schrödinger devient alors:

(42.358)

Cependant pour une particule libre (en l'absence de champ de potentiel) l'énergie totale est

donc égale à l'énergie cinétique :

(42.359)

Mais nous avons :

(42.360)

Le rapport :

(42.361)

étant la longueur d'onde associée de De Broglie. En introduisant le nombre

d'onde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire), nous avons :

(42.362)

appelée "relation de De Broglie". Finalement :

(42.363)

Dès lors, l'équation de Schrödinger peut s'écrire:

(42.364)

Nous voyons par substitution directe que cette équation différentielle admet pour solutions les

fonctions d'onde:

et (42.365)

Ces deux différentes solutions représentent le déplacement d'une même particule une fois dans

la direction +x et l'autre dans -x. Si nous avons :

(42.366)

Le fait que ce résultat soit égal à l'unité, signifie que la probabilité de trouver la particule est la

même en tout point. En d'autres termes, décrit une situation dans laquelle

l'incertitude sur la position est totale. Ce résultat est en accord avec le principe d'incertitude

puisque décrit une particule dont nous connaissons avec précision la quantité

mouvement : c'est-à-dire que , ce qui implique .

En analyse nous avons montré que la solution la plus générale d'une équation différentielle est

la somme de ces solutions. Autrement dit dans notre exemple :

(42.367)

avec:

(42.368)

Au fait, nous pouvons remarquer que si alors le résultat est le même à la différence

que nous aurons :

(42.369)

Lorsque la particule qui nous intéresse se trouve dans un puits de potentiel décrit par la

fonction (parabole):

(42.370)

nous parlons alors "d'oscillateur harmonique".

Ce système est très important car l'Hamiltonien de l'équation intervient dans tous les problèmes

mettant en jeu des oscillations telles que vibrations moléculaires et cristallines (cf. chapitre de

Chimie Quantique).

Prenons d'abord comme exemple l'oscillateur harmonique classique qui consiste en un corps

assujetti à se déplacer le long d'un axe et soumis à une force de rappel proportionnelle à la

distance à un point situé sur cet axe.

L'équation de ce corps est régie par l'équation de la dynamique:

(42.371)

Nous avons vu en mécanique classique que la solution générale de cette équation est:

(42.372)

avec comme pulsation:

(42.373)

L'énergie totale du système étant l'Hamiltonien classique nous écrivons :

(42.374)

Maintenant revenons à notre cadre quantique. De ce point de vue nous avons pour Hamiltonien

(ou énergie totale):

(42.375)

En utilisant ce que nous définissons comme une "écriture réduite", nous écrivons :

(42.376)

où les opérateurs réduits sont :

et (42.377)

et où nous avons remplacé la constante par identiquement à l'oscillateur

harmonique classique (cf. chapitre de Mécanique Classique).

Il est plus ou moins facile d'obtenir la relation de commutation:

(42.378)

Démonstration:

Rappelez-vous de la relation ci-dessous que nous avons vue lors de notre étude des opérateurs

linéaires fonctionnels au début de ce chapitre :

(42.379)

Etudions les propriétés des commutateurs avec la quantité de mouvement. Nous avons

démontré également plus haut la relation ci-dessous:

(42.380)

En multipliant cette dernière par , il vient:

(42.381)

que nous pouvons également écrire:

(42.382)

Si vous vous rappelez de la définition des commutateurs , nous avons :

(42.383)

Nous avons donc pour notre oscillateur:

et (42.384)

écrivons la définition le commutateur :

(42.385)

Donc:

(42.386

)

c'est ce qu'il fallait démontrer...

Nous avons maintenant intérêt pour résoudre l'équation différentielle d'utiliser les opérateurs

non hermitiques définis (c'est une définition donc ne cherchez pas trop loin):

(42.387)

Ce qui nous définit donc les opérateurs (en posant temporairement ) :

(42.388)

Nous retrouvons ces deux opérateurs très fréquemment en mécanique quantique et les

physiciens parlent alors de "l'opérateur de destruction" et de "l'opérateur de création" a.

Compte tenu de la relation de commutation, nous vérifions :

et (42.389)

Démonstration:

(42.390)

et :

(42.391)

et d'autre part:

(42.392)

Démonstration:

(42.393)

et donc en divisant pas 2 des deux côtés de l'égalité nous avons :

(42.394)

Revenons à la relation:

(42.395)

Utilisons :

(42.396)

Donc:

(42.397)

Nous faisons maintenant l'hypothèse que est une fonction propre de N associée à la valeur

propre n, telle que :

(42.398)

Cette hypothèse est très importante car nous allons nous en servir comme principe d'induction

pour trouver toutes les fonctions propres à partir de la fondamentale!

Etablissons maintenant des relations de commutation entre N et les opérateurs a ou . Pour

cela multiplions d'abord le tout par , nous obtenons:

(42.399)

De même en multipliant par a, nous obtenons:

(42.400)

Puisque selon notre hypothèse et n sont respectivement fonction et valeur propre de N,

nous pouvons écrire:

(42.401)

Or, nous avons :

(42.402)

qui multipliée à droite par la fonction d'onde donne la relation :

(42.403)

Cette équation entraîne les conséquences suivantes:

- Ou bien tel que

- Ou bien est fonction propre de N pour la valeur propre n-1 !!

Le même raisonnement établirait que est fonction propre de N pour la valeur propre n+1,

si elle n'est pas nulle (nous verrons plus loin que n'est jamais nulle):

(42.404)

Cette relation est importante car si n'est pas nulle pour une fonction propre donnée elle

ne le sera pas non plus pour les autres fonctions propres de valeur propre n+1 !!

Nous savons qu'il existe une valeur propre plus petite que toutes les autres correspondant

au niveau fondamental (d'après le modèle de Bohr-Sommerfeld cette valeur propre existe

toujours).

Nécessairement, sa fonction propre obéit à la relation (le lecteur pourra vérifier avec les

résultats plus loin) :

(42.405)

sinon quoi serait valeur propre et il y aurait contradiction.

En multipliant cette dernière relation par nous obtenons:

(42.406)

ce qui montre que la valeur propre minimale est nulle. Nous connaissons donc le niveau

fondamental de l'oscillateur:

(42.407)

Remarque: Il faut noter que l'oscillateur n'est jamais dans un état de repos (mettre n = 0 dans

l'expression de l'énergie plus haut) ce qui veut aussi dire que le zéro absolu ne peut pas être

accessible puisque la température "chiffre" l'agitation atomique, or le repos n'existe pas!

Pour obtenir la fonction propre correspondante, nous avons besoin de l'expression explicite

de a. D'après:

et (42.408)

nous avons :

et (42.409)

ce qui nous donne:

(42.410)

car rappelons-le:

d'où:

(42.411)

Mais d'après :

(42.412)

d'où:

(42.413)

soit (résolution d'une simple équation différentielle):

(42.414)

Nous devons envisager, en réalité, comme fonction de x par le biais de la coordonnée

réduite Q.

D'après:

(42.415)

en introduisant la longueur A :

(42.416)

avec :

(42.417)

Nous allons fixer maintenant la constante en utilisant la condition de normalisation de De

Broglie:

(42.418)

et donc :

(42.419)

Il est loisible de choisir la constante réelle et positive, nous avons finalement:

(42.420)

Corollaire... : D'après ce que nous avons vu précédemment, en faisant

agir sur (explicitement nous faisions référence au résultat ),

nous obtenons les fonctions propres de N pour les valeurs propres entières 1, 2, etc. Nous

vérifierons plus loin que nous épuisons ainsi toutes les valeurs propres de N.

Il reste à construire les autres fonctions propres et à les normer. En effet, si est fonction

propre normée associée au niveau , nous avons vu plus haut que est fonction propre

associée au niveau n+1, mais il n'y a pas de raison de la normer à nouveau puisqu'elle est

justement associée à une fonction propre déjà normée.

Nous pouvons écrire:

(42.421)

étant un coefficient à déterminer. Exprimons le fait que est déjà normée:

(42.422)

Soit en tenant compte de la relation nous avons:

(42.423)

Rappelons que donc:

(42.424)

Nous venons de vérifier au passage que n'est jamais nul (fait que nous avions supposé

plus haut).

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