Notes sur la capitalisation et l'actuariat - 1° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 January 2014

Notes sur la capitalisation et l'actuariat - 1° partie, Notes de Management

PDF (121.9 KB)
10 pages
90Numéro de visites
Description
Notes de gestion sur la capitalisation et l'actuariat - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définition, INTERVALLE DE DATES, ÉQUIVALENCES DE TAUX, INTÉRÊT SIMPLE, ESCOMPTE, INTÉRÊT COMPOSE'
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 10
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Définition: La "capitalisation" est le domaines de la mathématique financière qui permet de

calculer des valeurs futures à partir de valeurs présentes, alors que le "calcul actuariel" permet

de déterminer quelle somme doit être prêtée pour obtenir un montant fixé à l'avance.

Dans un dynamique de marché, des acteurs peuvent prêter ou emprunter un capital en

contrepartie de quoi ils percoivent ou respectivement versent un intérêt périodique. Cet intérêt

se justifie par la prise de risque que prend le créditeur (celui qui prête le capital) relativement

au non-remboursement de la totalité ou d'une part du capital intial que doit rembourser le

débiteur (celui qui doit rembourser le capital emprunter). D'une autre manière, vue au niveau du

marché économique, les emprunts permettent à certains agents économiques de mettre en

place des biens en pariant sur le fait que soit ceux-ci créeront l'offre soit que l'offre viendra

d'elle-même mais en souhaitant devancer la concurrence.

Lorsque un capital est prêté (ou emprunté, c'est selon le point de vue...) dans le but d'accroître

une dynamique de marché (la quantité de circulation de biens sur une durée donnée) nous

parlons alors "d'actif financier", ceci pour faire comprendre que le capital participe à l'activitié

de l'économie.

Définitions:

D1. Nous appelons "rendement d'un actif financier prêté" le rapport de progression donné par:

(100)

D2. Nous appelons "rendement arithmétique d'un investissement" la relation:

où est la valeur initiale de l'investissement et sa valeur finale.

Il suit de cette dernière définition que si un investissement a rapporté 5% la première année et a

porté une perte nette de 2% la deuxième année. Le "RSI (Retour Sur Investissement)

arithmétique moyen" est alors de:

Or il est faux d'utiliser la moyenne arithmétique pour ce type de situations car la somme finale

obtenue après les deux années est mathématiquement de:

ce qui donne alors en reprenant l'exemple précédent:

Donc le rendement moyen réel est par définition le "RSI géométrique" tel que:

c'est-à-dire qu'il s'agit simplement d'une moyenne géométrique (cf. chapitre de Statistiques). Il

vient alors:

ce qui est bien évidemment nettement différent du RSI arithmétique moyen obtenu plus haut!

Remarque: Nous disons d'un actif qu'il a un "rendement sans risques" si la valeur future de celui-

ci est parfaitement connue.

Soit un actif qui peut valoir le rendement (optimiste) futur avec une probabilité et la

valeur (pessimiste) avec une probabilité ou d'autres valeurs avec la

probabilité alors l'espérance mathématique du rendement est donnée par:

(101)

Que la somme monétaire soit du type actif où non, les types de rendements applicables sont

identiques et variés. Il en existe cependant de grands classique qui ne sont pas stochastiques et

connus. Pour leur étude, définissons certaines variables :

- représente le capital initial ou plus techniquement la "valeur actuelle" (V.A.) ou "present

value" (P.V.) en anglais

- représente le capital final ou "valeur capitalisée" (V.C.) ou "futur value" (F.V.) en anglais

après n périodes temporelles.

- représente le taux appelé plus techniquement "taux effectif"

- représente "l'intérêt" produit au bout n de périodes (horizon) sur la valeur actuelle

Rajoutons encore comme complément la relation :

(102)

appelée "facteur de capitalisation".

Définition: Nous définissons "l'intérêt" comme la rémunération d'un capital (somme d'argent)

prêté ou investi pendant un certain temps. L'intérêt peut être payé en une fois ou

périodiquement si la durée du prêt ou de l'investissement dure longtemps. L'intérêt peut être

payable d'avance (praenumerando) ou à la fin de la période (postnumérando). L'intérêt est

fonction de la durée du prêt (ou investissement), du capital emprunté (ou prêté) ainsi que du

"taux" d'intérêt pratiqué. La période sur laquelle l'intérêt porte est en général l'année, mais elle

peut être plus courte : semestre, trimestre mois ou jour.

Remarque: Dans un texte, l'intérêt est exprimé normalement en % mais dans les calculs

financiers, il d'usage de calculer sous forme décimale.

INTERVALLE DE DATES

Pour déterminer le montant d'un intérêt sur un prêt (ou investissement...), il est d'abord

indispensable de connaître la durée de ce dernier ou les dates définissant les périodes de

paiement d'une obligation (échéancier).

Le calcul de dates et de durées et donc la première étape en mathématiques actuarielles. Si

certains logiciels utilisent dans le calcul de la durée l'année civile (365 jours selon calendrier

Grégorien), d'autres se basent sur l'année commerciale (360 jours), ce qui était le cas de la

plupart des établissements bancaires (c'est tout à leur avantage financièrement parlant de faire

le choix de ce dernier...) avant l'arrivée du calendrier target pour la zone Euro.

Remarques:

R1. Sur les marchés financiers, il existe une seule convention d'intervalle de date pour calculer

une durée : le premier jour (date de départ) est inclus dans la période. Le dernier jour (date de fin

ou date d'échéance) est exclus de la période. Ainsi une période allant du 15 au 25 juin comporte

10 jours.

R2. Dans le cadre de ce site, qui se veut avoir une approche la plus rigoureuse possible de sujets

traités, nous ne nous attarderons pas sur les aberrantes méthodes 30/360 allemande, européenne

ou encore américaine (autant faire chaque pays de la planète alors... et se reporter à MS Excel...)

pour nous concentrer sur la méthode des 365 jours qui est, et reste, le système le plus naturel de

comptage à utiliser puisqu'il tient compte des mois à 28, 29, 30 ou 31 jours.

R3. Signalons qu'en ce qui concerne les carnets d'épargne, les banques se basent sur un système

de "quinzaines" (moitié d'un mois), et estiment qu'il y a donc 24 quinzaines par année.

Il nous faut dès lors dans le système de la base exacte connaître comment calculer le nombre

de jours entre deux dates donné par le calcul à partir la forme

normalisée j.m.a (jour.mois.année).

Définitions:

D1. Le calendrier Grégorien a été défini tel qu'il ait 12 mois.

D2. Les mois de :

(103)

sont des mois à 31 jours et les mois de :

(104)

à 30 jours.

D3. Le mois de février est un cas particulier permettant de corriger le fait que l'année civile de

365 jours, ne corresponde pas tout à fait à la période orbitale de la Terre autour du Soleil qui

est d'environ 365.25... jours. Ainsi, toutes les années qui sont multiples de 4 ou de 400 sont

des années bissextiles (le mois de février à 29 jours au lieu de 28) mais les années qui sont

divisibles par 100 ne sont pas bissextiles.

Exemples:

E1. 1992,1996,2004,2008 sont bissextiles.

E2. Les années 1900,2100,2200,2300 ne sont par contre pas bissextiles (car divisibles par 100)

E3. Les années 1600, 2000, 2400,2800 sont bissextiles car bien que divisibles par 100, elles

sont multiples de 400.

Ces définitions et exemples étant donnés, soit une date sous la forme normalisée donnée

précédemment. Le nombre de jours depuis l'an 0 est :

(105)

où E[x] est la partie entière de x. Cette relation se déduit logiquement de la manière suivante

pour les dates où :

1. Nous avons 365(a-1) car soit a donné, le nombre de jours civils depuis l'an 1 est

365a soustrait d'une unité puisque l'année en cours n'est pas terminée.

2. Même remarque pour les mois avec 31(m-1)

3. Logiquement, nous ajoutons j (qui contient toute l'information quant à savoir si l'année a) est

bissextile ou non) à la somme des deux termes précédents

4. Les termes donnent quant à eux le nombre de 29 février

entre l'année 1 et aen prenant en compote les années bissextiles qui ont lieu tous les multiple

de 4 et 400 ans exceptés les années qui sont multiples de 100.

Si , nous devons utiliser la relation suivante :

(106)

Cette relation se déduit toujours de la même manière que la précédent à la différence que

certains termes au nominateur ne sont pas soustrait d'une unité car ayant m>2, il faut prendre

en compte l'année en cours dans le calcul.

Le dernier terme E(0.42M+2) est ici pour corriger le fait que tous les mois n'ont pas 31 jours.

Pour l'obtenir, nous construisons le tableau suivant (la troisième colonne donne le décalage en

jours par rapport au cas où les mois auraient tous 31 jours) :

Mois N° Mois n Décalage d

mars 3 3

avril 4 4

mai 5 4

juin 6 5

juillet 7 5

aout 8 5

septembre 9 6

octobre 10 6

novembre 11 7

décembre 12 7

Tableau: 3 - Décalage mensuel en jours

Une régression linéaire simple donne :

(107)

En prenant la valeur entière et en vérifiant bien que la fonction choisie est correcte nous

obtenons finalement bien (en prenant un précision de deux décimales) :

E(0.42M+2)

Mois N° Mois n Décalage d d(n) E(d(n))

mars 3 3 3.26 3

avril 4 4 3.68 4

mai 5 4 4.1 4

juin 6 5 4.52 5

juillet 7 5 4.94 5

aout 8 5 5.36 5

septembre 9 6 5.78 6

octobre 10 6 6.2 6

novembre 11 7 6.62 7

décembre 12 7 7.04 7

Tableau: 4 - Évolution population mondiale (Wikipedia)

ÉQUIVALENCES DE TAUX

Intéressons nous maintenant brièvement au calcul des taux avant de s'attaquer directement aux

calculs des différentes et nombreux types d'intérêts.

Définition: Le"taux proportionnel" ou " fait apporter à un même capital, durant la même

période, le même "intérêt simple" (voir la définition de l'intérêt simple plus bas) et est donc

donné par la relation :

(108)

Si le taux proportionnel est calculé sur la base d'une année, nous parlons alors de "taux de

rendement annualisé", s'il est calculé sur la base d'un mois, nous parlons alors de "taux de

rendement mensualisé".

Exemple:

Calculer le taux mensuel proportionnel (soit: le taux de rendement mensualisé) à un taux

annuel t% de 12%:

(109)

Définition: Le "taux équivalent" fait apporter à un même capital, durant la même période, le

même "intérêt composé" (voir la définition de l'intérêt composé plus bas) et est donc donné par

la relation :

(110)

et inversement:

(111)

Exemple:

Taux t% mensuel équivalent à un taux annuel de 12% :

(112)

la procédure inverse consisterait donc à calculer le taux annualisé et nous voyons alors qu'un

taux mensuel de 1% annualisé vaudrait plus que 12%.

INTÉRÊT SIMPLE

Définition: "L'intérêt simple" est défini par la relation (voir plus haut pour la définition des

notations) :

(113)

qui implique une capitalisation (valeur finale) :

(114)

Il s'agit simplement de l'intérêt qui est calculé à chaque période seulement sur la base du

capital prêté ou emprunté à l'origine.

Remarques:

R1. Il est très facile à partir la connaissance de trois des quatre paramètres de la relation

précédente de retrouver la quatrième. S'agissant d'un simple équation du premier degré, nous ne

nous attarderons pas sur ce genre d'exercice de style d'agèbre élémentaire.

R2. Une particularité de l'intérêt simple est d'être proportionnel à la durée du placement. Si

l'intérêt par exemple sur une année est de 12%, le "taux équivalent" à un placement identique

pendant 12 mois sera de 1% par mois. Cette propriété n'est pas vraie pour l'intérêt composé que

nous verrons de suite après.

R3. Pour les carnets d'épargne nous avons déjà fait mention que les instituts financiers utilisent la

quinzaine comme période temporelle (soit 24 périodes dans l'année composée de mois de 30

jours). Donc pour calculer l'intérêt annuel, lors de chaque quinzaine, ils prennent le solde le plus

faible sur le compte lors de la quinzaine et calculent l'intérêt simple sur un taux rapporté à 24

semaines par année et reporteront le résultat obtenu lors de la clôture annuelle du compte à la fin

de l'année (ils sont pas fous...)

Par ailleurs, si plusieurs placements à intérêt simple sont effectués simultanément pour des

durées et à des taux différents, nous pouvons être amenés à calculer le taux moyen T de

l'ensemble de ces placements.

Si nous notons le placement numéro t, le taux d'intérêt du placement numéro t, la

durée du placement numéro t et k le nombre de placement, nous avons la moyenne

arithmétique pondérée (cf. chapitre de Statistiques) :

(115)

ESCOMPTE

Toujours relativement à l'intérêt simple, nous pouvons revenir sur une notion dont nous avions

parlé au début de ce chapitre qu'est l'escompte.

Rappelons que l'escompte est une déduction accordée à un acheteur par un vendeur dans le but

de l'inciter à payer rapidement avant n unités (périodes) de temps (c'est donc l'intervalle qui

importe!). Un acheteur devrait en principe profiter de cet escompte. Dans le cas contraire, c'est

comme s'il empruntait implicitement pendant une durée donnée à un intérêt bien plus élevé.

Voyons cela :

Notons la valeur actuelle escompte compris, le montant sans escompte appelé "valeur

nominale", n la durée rapportée à l'échelle de temps du taux d'escompte, t% le taux d'escompte

et i l'intérêt implicite en cas de renonciation à l'escompte.

Nous avons maintenant les relations suivantes triviales :

(116)

avec :

(117)

étant l'intérêt simple sur la valeur actuelle, nous avons alors trivialement :

(118)

Dès lors, il vient par substitution :

(119)

Nous remarquons alors qu'il suffit de connaître seulement le taux d'escompte accordé t%

(souvent donné en annuel...) ainsi que la durée de renonciation n pour déterminer le taux

équivalent du crédit accordé.

Exemple:

Calculons le taux implicite i relatif à un escompte de 1% à 10 jours ou net à 30 jours :

(120)

Ainsi, cette escompte si elle n'est pas prise en considération, peut-être vue comme un crédit à

18% par jour pendant 20 jours sur la somme avec escompte !

Cette métode de calcul est appelée "escompte commerciale" car elle les calculs se font sur la

base de la valeur nominale et non de la valeur actuelle.

INTÉRÊT composÉ

Définition: "L'intérêt composé" est donnée par la relation:

(121)

et implique:

(122)

Nous disons doncque le taux d'intérêt est "composé" lorsqu'à la fin de chaque période l'intérêt

est ajouté au capital pour le calcul de la prochaine période.

Nous avons par ailleurs les relations triviales (cf. section d'Algèbre):

(123)

Remarque: Les relations équivalentes dans MS Excel pour trouver sont

respectivement (fonctions en français) VC(), VA(), NPM(), Taux() l'abréviation NPM signifiant

"nombre payements mensuels".

Si le taux n'est pas constant dans le temps alors l'intérêt composé s'écrit:

(124)

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome