Notes sur la cinématique - 1° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 January 2014

Notes sur la cinématique - 1° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur la cinématique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la position, la vitesse, l'accélération, le plan osculateur.
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CINÉMATIQUE

Un phénomène est évolutif si, en l'observant, nous constatons un glissement de la valeur

concrète d'une ou plusieurs grandeurs. Ces grandeurs ne sont pas des constantes mais des

variables. Une évolution implique qu'il y a un début, une infinité d'états intermédiaires et une

fin. Un "état" est la description d'un instantané d'un phénomène évolutif (pas forcément au sens

temporel du terme).

La relation fonctionnelle entre grandeurs pour un état donné peut être décrite par une équation.

Pour un phénomène évolutif, il peut y avoir une infinité d'états que nous pouvons décrire par

autant d'équations. Sous cette forme, cela n'a pas d'intérêt. Nous cherchons alors à trouver une

équation unique qui met en relation les différentes grandeurs vérifiant tous les états que le

phénomène évolutif considéré peut admettre. Par cette équation, nous pouvons ensuite calculer

n'importe quel état du phénomène évolutif étudié : c'est "l'équation d'état" (notion tirée de la

thermodynamique).

La "cinématique" est donc la partie de la mécanique qui traite des mouvements sans s'occuper

de ses causes.

POSITION

Définition: La position d'un objet est définie par son vecteur position dans le cas particulier d'un

espace tridimensionnel :

(30.37)

or chaque coordonnée d'un objet en mouvement peut varie fonction du temps comme:

(30.38)

Plutôt que cette notation un peu lourde en parenthèses... les physiciens notent fréquemment le

vecteur position (ou vecteur d'espace) sous la forme d'un vecteur de 4 dimensions:

- 3 dimensions spatiales

- 1 dimension temporelle

et nous écrivons alors :

(30.39)

et nous appelons alors ce vecteur un "quadrivecteur d'espace-temps" dont les composantes

sont les coordonnées généralisées du système.

VITESSE

Définition: La vitesse, notée v, est par définition la distance parcourue par un objet pendant une

certaine quantité de temps :

(30.40)

Lorsqu'un corps est en mouvement uniforme rectiligne, c'est-à-dire qu'il parcourt une distance

donnée selon une dimension avec en un temps toujours égal, le rapport précédent

est constant dans le temps:

(30.41)

La vitesse moyenne arithmétique est définie comme étant le rapport de la distance parcourue

entre un point de départ donné à un instant et un point d'arrivée à un instant :

(30.42)

Remarque: Il faut prendre garde lors de calculs de vitesses moyennes car il existe plusieurs types

de moyennes en mathématique... (cf. chapitre de Statistique)!

Ceci représente donc une moyenne (car nous ne nous intéressons pas comment le chemin

entre et a été parcouru) mais nullement la vitesse instantanée du véhicule à un

moment donné.

Si nous désirons connaître la vitesse dite "vitesse instantanée" du véhicule en un point de sa

trajectoire il faut faire passer le delta du temps à un différentiel (cf. chapitre de Calcul

Différentiel Et Intégral) tel que :

(30.43)

avec qui tend vers zéro.

Mathématiquement, nous notons cela correctement de la façon suivante:

(30.44)

Ainsi, pendant une différence de temps infiniment petite, la distance parcourue sera également

infiniment petite. Nous aurons donc :

(30.45)

et finalement :

(30.46)

Si le corps étudié n'est pas en mouvement rectiligne dans un repère cartésien à trois

dimensions alors sa position sera donnée par le vecteur et nous noterons sa vitesse dès

lors par:

(30.47)

Remarque: Si toutes les parties d'un corps se déplacent à la même vitesse et dans la même

direction, nous avons alors un "mouvement de translation". Par contre, dans un "mouvement de

rotation", les vitesses des diverses parties du corps ne sont pas les mêmes, en module et en

direction (nous le démontrerons plus loin) et peuvent varier avec le temps.

Attention ! Un mouvement ne peut être décrit que par rapport à un repère fixe : le mouvement

absolu n'existe pas. Galilée avait déjà compris que : "Le mouvement est comme rien". Le

mouvement n'existe pas en soi, mais relativement à autre chose.

ACCÉLÉRATION

Définition: L'accélération, notée a, est par définition, la variation de la vitesse pendant un une

certaine quantité de temps tel que (nous passons directement à la limite) :

(30.48)

À nouveau, si le corps n'est pas en mouvement uniforme rectiligne nous aurons :

(30.49)

Si le corps est en mouvement rectiligne et uniforme (nous pouvons toujours généraliser à un

mouvement non rectiligne) nous avons alors:

(30.50)

La constante est à déterminer en fonction des conditions initiales. Si la distance initiale

parcourue au temps zéro est nulle la constante sera nulle. Dans le cas contraire nous écrivons :

(30.51)

ce qui nous donne la distance parcourue par un corps pendant un laps de temps donné.

Si le corps est en mouvement rectiligne et accélère constamment nous avons alors:

(30.52)

La constante est à déterminer en fonction des conditions initiales. Si la distance initiale

parcourue au temps zéro est nulle la constante sera nulle. Dans le cas contraire nous écrivons :

(30.53)

Nous voyons plus fréquemment cette relation sous la forme :

ou (30.54)

mais nous avons :

(30.55)

si nous intégrons cette relation, nous obtenons :

(30.56)

que nous retrouvons dans les écoles le plus fréquemment sous la forme :

(30.57)

Cette relation donne la position d'un mobile en mouvement rectiligne et uniformément

accéléré. De cette dernière, nous déduisons une énorme quantité de relations qui sont très

intéressantes en physique aussi bien en considérant des cas idéaux que des cas réels.

Le premier cas que nous considérons comme le plus connu, est la vitesse de chute à

accélération constante d'un corps dans un milieu exempt de tout frottement (cas traité plus loin

lors de notre étude de la tribologie).

Comme nous l'avons déjà démontré précédemment, nous avons:

et (30.58)

Les deux relations combinées donnent:

(30.59)

Nous pouvons tirer de cette relation la vitesse de libération d'un astre (relation pratique quand

nous étudierons le chapitre d'Astrophysique et intéressant pour comparaison lorsque nous

étudierons la relativité générale):

Supposons que vous savez déjà que deux corps s'attirent mutuellement avec une accélération

selon le modèle classique de Newton (que nous démontrerons plus loin):

(30.60)

Mis dans la relation de chute d'un corps , nous obtenons :

(30.61)

à la surface du corps attracteur principal nous avons donc la "vitesse de libération" :

(30.62)

Nous pouvons répondre à partir de cette équation, pourquoi certaines planètes du système

solaire ont un atmoshpère et d'autres pas (il faut prendre en compte l'agitation moléculaire)

comme nous le verrons dans le chapitre d'Astronomie.

Ce qui est aussi intéressant dans cette relation c'est que nous pouvons calculer quelle doit être

le rayon R d'un corps de masse m pour que sa vitesse de libération soit égale à celle de la

lumière (allusion aux Trous Noirs).

Nous avons dès lors:

(30.63)

Nous verrons lors de notre étude de le relativité générale qu'après de relativement longs calculs

dans un champ gravitationnel isotrope (métrique de Schwarzschild) nous retomberons sur cette

relation.

PLAN OSCULATEUR

Les vecteurs et liés à un point P en mouvement forment, à chaque instant t un plan

appelé "plan osculateur" de la trajectoire (généralement curviligne sinon quoi le plan se réduit à

une droite).

Il est souvent utile de décomposer le vecteur accélération dans le plan osculateur suivant

respectivement la tangente et la normale à la trajectoire :

(30.64)

où le premier terme du membre de droite est un vecteur parallèle à la vitesse et le deuxième un

vecteur perpendiculaire à la vitesse et situé du côté concave de la trajectoire.

Exprimons ces deux vecteurs (un exemple plus général est donné dans le chapitre de Géométrie

Différentielle) :

Nous pouvons écrire que :

(30.65)

où ds est un élément courbe (l'abscisse curviligne) de la trajectoire et un vecteur unité

tangent à la trajectoire lié au point P.

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