Notes sur la cinématique - 2° partie, Notes de Concepts de physique. Université Claude Bernard (Lyon I)
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 January 2014

Notes sur la cinématique - 2° partie, Notes de Concepts de physique. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de physique sur la cinématique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L'accélération, le principe de relativité galiléen.
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L'accélération s'écrit alors:

(30.66)

Le premier terme à droite de l'égalité est l'accélération tangentielle quand au second terme,

même si la vitesse est constante ce dernier apparaît dans l'expression de l'accélération pour

exprimer le changement de direction de la vitesse.

Décomposons le vecteur dans la base orthonormée euclidienne générée par la famille de

vecteur :

(30.67)

Ensuite, en dérivant par rapport au temps:

(30.68)

En comparant avec l'expression initiale du vecteur , nous voyons que les termes entre

crochets ci-dessus sont les composantes d'un nouveau vecteur unité perpendiculaire au

vecteur , donc perpendiculaire à la trajectoire et dirigé vers le centre de courbure.

De plus par la définition du radian, nous avons :

(30.69)

où R est le rayon de courbure de la trajectoire.

L'expression devient alors:

(30.70)

et le second terme de l'expression générale de l'accélération devient alors:

(30.71)

Nous avons donc finalement (relation démontrée avec une autre approche dans le chapitre de

Géométrie Différentielle):

(30.72)

où "l'accélération tangentielle" donnée par :

(30.73)

est un terme qui exprime la modification de l'intensité de la vitesse sur la trajectoire du

point P et où "l'accélération normale" :

(30.74)

est un terme qui exprime le changement de direction du point P sans que nécessairement ce

dernier change donc de vitesse! Communément cette dernière relation est assimilée à la "force

centrifuge"!!

Remarque: La force centrifuge est considérée en physique comme une force fictive car au fait il

ne s'agit pas d'une force qui tend à nous éloigner d'un centre de rotation mais c'est juste qu'il y a

une force qui n'est plus suffisante ( la force de frottement dans le cadre d'un manège ou

gravitationnelle pour des planètes) pour nous empêcher de suivre une trajectoire en ligne droite

par simple inertie. Raison pour laquelle lorsque nous sommes éjectés d'un manège nous partons

tangentiellement à sa rotation et non pas perdendiculairement à celle-ci.

Nous constatons immédiatement que si le mouvement est forcément rectiligne, accéléré

ou non, tandis que si la trajectoire est nécessairement incurvée.

PRINCIPE DE RELATIVITÉ GALILÉEN

Définition: Il est impossible pour un observateur animé d'un mouvement uniforme de savoir s'il

se meut par rapport à son environnement ou bien à l'inverse si l'environnement se déplace par

rapport à lui (nous ne pouvons pas distinguer le repos et le mouvement à vitesse et direction

constantes). Dès lors, il ne peut exister de référentiel absolu (ou privilégié) qui puisse être

considéré comme fixe vis-à-vis de toutes les autres repères galiléens ce qui signifie clairement

que tous les repères galiléens doivent jouir du même statut en mécanique puisqu'ils ne peuvent

être distingués les uns des autres. Ce principe est nommé le "principe de relativité galiléen".

Ce principe, (à ne pas confondre avec le principe de relativité restreinte car les hypothèses de

départ diffèrent un tant soit peu...) découle directement de l'étude de ce que nous nommons la

"transformation de Galilée".

Définition: Une "transformation de Galilée" est une suite d'opérations mathématiques sur une

loi physique qui permet de déterminer les propriétés d'un ou plusieurs "observables" (vitesse,

force quantité de mouvement, etc.) lorsque nous passons lors de l'étude d'un phénomène

physique d'un référentiel à un autre référentiel : l'un supposé au repos, et l'autre en mouvement

uniforme.

La question à l'origine historique était de répondre s'il est plus légitime d'étudier un

phénomène dans un référentiel ou un autre. Plus exactement, nous souhaitons déterminer si la

forme des lois physiques gardent les mêmes formes algébrique quelque soient les référentiels

dans lequel nous les étudions.

Voyons cela d'un peu plus près :

Soient deux référentiels en mouvements l'un par rapport à l'autre à une vitesse

constante . Pour un certain référentiel cartésien au repos (ou supposé tel

quel) nous allons poser le deuxième référentiel de façon à ce qu'il soit aligné avec

l'axe des afin de simplifier les calculs avec :

(30.75)

Nous allons également mettre dans le deuxième référentiel en mouvement, un point

matériel de coordonnées .

Remarque: Nous supposerons connu le concept de "quantité de mouvement" p défini plus loin

avec rigueur. Rappelons donc dès lors que la quantité de mouvement du point P animé d'une

vitesse v (norme) dans est alors donné par :

(30.76)

Nous avons alors en appliquant les relations classiques de la cinématique :

(30.77)

d'où et donc (nous supposons connu le concept de "force" défini plus loin avec

rigueur) :

(30.78)

Le résultat obtenu est donc fort intéressant puisque la deuxième loi de Newton garde

exactement la même forme, et la même valeur dans les deux référentiels. Le fait que nous nous

déplacions ou pas à vitesse constante ou pas n'a donc aucune influence sur notre vision du

monde qui reste exactement la même.

Conséquence : Puisque les forces sont identiques, aucune expérience de mécanique ne peut

déterminer si un référentiel galiléen est le repère absolu (autrement dit deux observateurs,

dans deux référentiels galiléens différents, ne peuvent à l'aide d'une expérience de mécanique

déterminer lequel se meut par rapport à l'autre).

Donc, en mécanique classique, il n'existe pas de référentiel galiléen absolu!

Toutefois notons bien que ce résultat est obtenu en supposant que :

(30.79)

c'est-à-dire que nous imposons que la vitesse relative est uniforme (constante) et la masse

constante et surtout, que .

Mais au fait, cette transformation est fondamentalement fausse comme nous le verrons plus en

détail lors de notre étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

Effectivement, soit un objet se déplaçant le long de l'axe avec une vitesse v mesurée dans le

repère primé :

(30.80)

quel sera alors sa vitesse w dans le repère non primé? Si la transformation de Galilée est

fondamentalement vraie, il suffit de remplacer dans la relation précédente x' et t' par leurs

expressions en fonction de t :

ou (30.81)

soit (loi d'addition des vitesses) :

(30.82)

Seul petit hic... une expérience simple impliquant des rayons de lumière fut réalisée au début

du siècle, et montra que cette loi était fausse. Cette expérience dite de "expérience Michelson-

Morley" bouleversa à tout jamais notre vision du monde... et amena Albert Einstein à développer

la théorie de la relativité restreinte en imposant que la vitesse de la lumière quelque soit le

référentiel est toujours constante (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

(30.83)

Remarque: Si nous mesurons les vitesses et autres grandeurs vectorielles, nous trouvons que les

résultats de mesures des composantes x', y', z', t' ne sont pas identiques à celle obtenues

sur x, y, z, t. Elles sont varié avec le système d'axe. Connaissant ces valeurs dans un repère, nous

pouvons passer aux valeurs dans l'autre repère : il s'agit de la "covariance" (co-variance :

variance avec les coordonnées), ici pour les expressions vectorielles.

Les lois sont des relations entre des observables, relations déduites d'observations

nombreuses.

La recherche des lois est régie par ce que nous pourrions appeler un "principe de simplicité" :

lois en nombre le plus petit possible, d'expressions les plus simples possibles entre grandeurs

en nombre minimal.

Mais la caractéristique d'une bonne loi est la covariance lors d'un changement de repère. Cette

invariance lors d'un changement de repère, cette invariance de la forme (de l'expression

littérale) de la loi va permettre d'objectiviser au maximum et, en principe totalement, la

physique.

La physique (dans le sens de la théorie qui décrit la réalité) ne sera plus liée à l'observateur ni à

son espace-temps galiléen associé. Bien sûr cette covariance sera recherchée pour les

transformations de référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres.

Un contre-exemple simple cependant : la force entre deux charges électriques immobiles dans

un référentiel ne fait appel dans ce référentiel qu'à la seule théorie de l'électrostatique. Si ce

même système est observé d'un référentiel en mouvement par rapport au premier, il faudra

décrire l'ensemble à l'aide de la théorie de l'électromagnétisme.

Par construction même la mécanique classique se trouve être covariante par transformation de

Galilée (changement de repères galiléens) : le postulat de la dynamique (force) prend en effet la

même forme dans les différents référentiels galiléens comme nous venons de le voir.

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