Notes sur la crise des fondements, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la crise des fondements, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la crise des fondements. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'histoire, les paradoxes.
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La crise des fondements.

Pour les premiers Grecs, la géométrie était considérée comme la forme la plus haute du savoir,

une puissante clé pour les mystères métaphysiques de l'Univers. Elle était plutôt une croyance

mystique, et le lien entre le mysticisme et la religion était rendu explicite dans des cultes comme

ceux des Pythagoriciens. Aucune culture n'a depuis déifié un homme pour avoir découvert un

théorème géométrique! Plus tard, les mathématiques furent considérées comme le modèle d'une

connaissance a priori dans la tradition aristotélicienne du rationalisme.

L'étonnement des Grecs pour les mathématiques ne nous a pas quitté, on le retrouve sous la

traditionnelle métaphore des mathématiques comme "Reine des Science". Il s'est renforcé avec les

succès spectaculaires des modèles mathématiques dans la science, succès que les Grecs (ignorant

même la simple algèbre) n'avaient pas prévus. Depuis la découverte par Isaac Newton du calcul

intégral et de la loi du carré inverse de la gravité, à la fin des années 1600, les sciences

phénoménales et les plus hautes mathématiques étaient restées en étroite symbiose - au point

qu'un formalisme mathématique prédictif était devenu le signe distinctif d'une "science dure".

Après Newton, pendant les deux siècles qui suivirent, la science aspira à ce genre de rigueur et de

pureté qui semblaient inhérentes aux mathématiques. La question métaphysique semblait simple:

les mathématiques possédaient une connaissance a priori parfaite, et parmi les sciences, celles qui

étaient capables de se mathématiser le plus parfaitement étaient les plus efficaces pour la

prédiction des phénomènes. La connaissance parfaite consistait donc dans un formalisme

mathématique qui, une fois atteint par la science et embrassant tous les aspects de la réalité,

pouvait fonder une connaissance empirique a postériori sur une logique rationnelle a priori. Ce fut

dans cet esprit que Jean-Antoine Nicolas de Cartitat, marquis de Condorcet (philosophe et

mathématicien français), entreprit d'imaginer la description de l'Univers entier comme un

ensemble d'équation différentielles partielles se résolvant les unes après les autres.

La première faille dans cette image inspiratrice apparut dans la seconde moitié du 19ème siècle,

quand Riemann et Lobachevsky prouvèrent séparément que l'axiome des parallèles d'Euclides

pouvait être remplacé par d'autres qui produisaient des géométries "consistantes" (nous

reviendrons sur ce terme plus loin). La géométrie de Riemann prenait modèle sur une sphère, celle

de Lobachevsky, sur la rotation d'un hyperboloïde.

L'impact de cette découverte a été obscurci plus tard par de grands chamboulements, mais sur le

moment, il fut un coup de tonnerre dans le monde intellectuel. L'existence de systèmes

axiomatiques mutuellement inconsistants, et dont chacun pouvait servir de modèle à l'Univers

phénoménal, remettait entièrement en question la relation entre les mathématiques et la théorie

physique.

Quand on ne connaissait qu'Euclide, il n'y avait qu'une géométrie possible. On pouvait croire que

les axiomes d'Euclide constituaient un genre de connaissance parfaite a priori sur la géométrie

dans le monde phénoménal. Mais soudain, nous avons eu trois géométries, embarrassantes pour

les subtilités métaphysiques.

Pourquoi aurions-nous à choisir entre les axiomes de la géométrie plane, sphérique et

hyperbolique comme descriptions de la géométrie du réel? Parce que toutes les trois sont

consistantes, nous ne pouvons en choisir aucune comme fondement a priori - le choix doit

devenir empirique, basé sur leur pouvoir prédictif dans une situation donnée.

Bien sûr, Les théoriciens de la physique ont longtemps été habitués à choisir des formalismes pour

poser un problème scientifique. Mais il était admis largement, si ce n'est inconsciemment, que la

nécessité de procéder ainsi était fonction de l'ignorance humaine, et qu'avec de la logique ou des

mathématiques assez bonnes, on pouvait déduire le bon choix à partir de premiers principes, et

produire des descriptions à priori de la réalité, qui devaient être confirmées après coup par une

vérification empirique.

Cependant, la géométrie euclidienne, considérée pendant plusieurs centaines d'années comme le

modèle de la perfection axiomatique des mathématiques, avait été détrônée. Si l'on ne pouvait

connaître a priori quelque chose d'aussi fondamental que la géométrie dans l'espace, quel espoir

restait-il pour une pure théorie rationnelle qui embrasserait la totalité de la nature ?

Psychologiquement, Riemann et Lobachevsky avaient frappé au coeur de l'entreprise

mathématique telle qu'elle avait été conçue jusqu'alors.

De plus, Riemann et Lobachevsky remettaient la nature de l'intuition mathématique en question. Il

avait été facile de croire implicitement que l'intuition mathématique était une forme de perception

- une façon d'entrevoir le monde platonicien derrière la réalité. Mais avec deux autres géométries

qui bousculaient celle d'Euclide, personne ne pouvait plus être sûr de savoir à quoi le monde

ressemblait.

Les mathématiciens répondirent à ce double problème avec un excès de rigueur, en essayant

d'appliquer la méthode axiomatique à toutes les mathématiques. Dans la période pré-

axiomatique, les preuves reposaient souvent sur des intuitions communément admises de la

"réalité" mathématique, qui ne pouvaient plus être considérées automatiquement comme valides.

La nouvelle façon de penser les mathématiques conduisait à une série de succès spectaculaires.

Pourtant cela avait aussi un prix. La méthode axiomatique rendait la connexion entre les

mathématiques et la réalité phénoménale toujours plus étroite. En même temps, des découvertes

suggéraient que les axiomes mathématiques qui semblaient être consistants avec l'expérience

phénoménale pouvait entraîner de vertigineuses contradictions avec cette expérience.

La majorité des mathématiciens devinrent rapidement des "formalistes", soutenant que les

mathématiques pures ne pouvaient qu'être considérées philosophiquement comme une sorte de

jeu élaboré qui se jouait avec des signes sur le papier (c'est la théorie qui sous-tend la

prophétique qualification des mathématiques de "système à contenu nul" par Robert Heinlein). La

croyance "platonicienne" en la réalité des objets mathématiques, à l'ancienne manière, semblait

bonne pour la poubelle, malgré le fait que les mathématiciens continuaient à se sentir comme les

platoniciens durant le processus de découverte des mathématiques.

Philosophiquement, donc, la méthode axiomatique conduisait la plupart des mathématiciens à

abandonner les croyances antérieures en la spécificité métaphysique des mathématiques. Elle

produisit aussi la rupture contemporaine entre les mathématiques pures et appliquées. La plupart

des grands mathématiciens du début de la période moderne - Newton, Leibniz, Fourier, Gauss et

les autres - s'occupaient aussi de science phénoménale. La méthode axiomatique avait couvé

l'idée moderne du mathématicien pur comme un super esthète, insoucieux de la physique.

Ironiquement, le formalisme donnait aux purs mathématiciens un mauvais penchant à l'attitude

platonicienne. Les chercheurs en mathématiques appliquées cessèrent de côtoyer les physiciens et

apprirent à se mettre à leur traîne.

Ceci nous emmène au début du 20ème siècle. Pour la minorité assiégée des platoniciens, le pire

était encore à venir. Cantor, Frege, Russell et Whitehead montrèrent que toutes les mathématiques

pures pouvaient être construites sur le simple fondement axiomatique de la théorie des

ensembles. Cela convenait parfaitement aux formalistes: les mathématiques se réunifiaient, du

moins en principe, à partir d'un faisceau de petits jeux détachés d'un grand. Les platoniciens aussi

étaient satisfaisaits, sil en survenait une grande structure, clé de voûte consistante pour toutes les

mathématiques, la spécificité métaphysique des mathématiques pouvait encore être sauvée.

D'une façon négative, pourtant, un platonicien eut le dernier mot. Kurt Gödel mit son grain de

sable dans le programme formaliste d'axiomatisation quand il démontra que tout système

d'axiomes assez puissant pour inclure les entiers devait être soit inconsistant (contenir des

contradictions) soit incomplet (trop faible pour décider de la justesse ou de la fausseté de

certaines affirmations du système). Et c'est plus ou moins où en sont les choses aujourd'hui. Les

mathématiciens savent que de nombreuses tentatives pour faire avancer les mathématiques

comme une connaissance a priori de l'Univers doivent se heurter à de nombreux paradoxes et à

l'impossibilité de décider quel système axiomatique décrit les mathématiques réelles. Ils ont été

réduits à espérer que les axiomatisations standard ne soient pas inconsistantes mais incomplètes,

et à se demander anxieusement quelles contradictions ou quels théorèmes indémontrables

attendent d'être découverts ailleurs.

Cependant, sur le front de l'empirisme, les mathématiques étaient toujours un succès

spectaculaire en tant qu'outil de construction théorique. Les grands succès de la physique du

20ème siècle (la relativité générale et la physique quantique) poussaient si loin hors du royaume

de l'intuition physique, qu'ils ne pouvaient être compris qu'en méditant profondément sur leurs

formalismes mathématiques, et en prolongeant leurs conclusions logiques, même lorsque ces

conclusions semblaient sauvagement bizarres. Quelle ironie! Au moment même où la perception

mathématique en venait à paraître toujours moins fiable dans les mathématiques pures, elle

devenait toujours plus indispensable dans les sciences phénoménales.

À l'opposé de cet arrière-plan, l'applicabilité des mathématiques à la science phénoménale pose

un problème plus épineux qu'il n'apparaît d'abord. Le rapport entre les modèles mathématiques et

la prédiction des phénomènes est complexe, pas seulement dans la pratique mais dans le

principe. D'autant plus complexe que, comme nous le savons maintenant, il y a des façons

d'axiomatiser les mathématiques qui s'excluent!

Mais pourquoi existe-t-il seulement de bons choix de modèle mathématique ? C'est à dire,

pourquoi y a-t-il un formalisme mathématique, par exemple pour la physique quantique, si

productif qu'il prédit réellement la découverte de nouvelles particules observables ?

Pour répondre à cette question nous observerons qu'elle peut, aussi bien, fonctionner comme une

sorte de définition. Pour beaucoup de système phénoménaux, de tels formalismes prédictifs

exacts n'ont pas été trouvés, et aucun ne semble plausible. Les poètes aiment marmonner sur le

coeur des hommes, mais on peut trouver des exemples plus ordinaires : le climat, où le

comportement d'une économie supérieure à celle d'un village, par exemple - systèmes si

chaotiquement interdépendants que la prédiction exacte est effectivement impossible (pas

seulement dans les faits mais en principe).

1.1. PARADOXES

Dès l'antiquité, certains logiciens avaient constaté la présence de nombreux paradoxes au sein de

la rationalité. En fait, nous pouvons dire que malgré leur nombre, ces paradoxes ne sont que les

illustrations d'un petit nombre de structures paradoxales. Attardons nous à exposer à titre de

culture générale les plus connus.

Exemples:

E1. Le paradoxe de la classe des classes (Russell)

Il existe deux types de classes : celles qui se contiennent elles-mêmes (ou classes réflexives : la

classe des ensembles non-vides, la classe des classes,...) et celles qui ne se contiennent pas elles-

mêmes (ou classes irréflexives : la classe des travaux à rendre, la classe des oranges sanguines,

...). La question posée est la suivante : la classe des classes irréflexives est-elle elle même

réflexive ou irréflexive? Si elle est réflexive, elle se contient et se trouve rangée dans la classe des

classes irréflexives qu'elle constitue, ce qui est contradictoire. Si elle est irréflexive, elle doit

figurer dans la classe des classes irréflexives qu'elle constitue et devient ipso facto réflexive, nous

sommes face à une nouvelle contradiction.

E2. Le paradoxe du bibliothécaire (Gonseth)

Dans une bibliothèque, il existe deux types de catalogues. Ceux qui se mentionnent eux-mêmes

et ceux qui ne se mentionnent pas. Un bibliothécaire doit dresser le catalogue de tous les

catalogues qui ne se mentionnent pas eux-mêmes. Arrivé au terme de son travail, notre

bibliothécaire se demande s'il convient ou non de mentionner le catalogue qu'il est précisément en

train de rédiger. A ce moment, il est frappé de perplexité. Si ne le mentionne pas, ce catalogue

sera un catalogue qui ne se mentionne pas et qui devra dès lors figurer dans la liste des

catalogues ne se mentionnant pas eux-mêmes. D'un autre côté, s'il le mentionne, ce catalogue

deviendra un catalogue qui se mentionne et qui ne doit donc pas figurer dans ce catalogue,

puisque celui-ci est le catalogue des catalogues qui ne se mentionnent pas.

E3. Le paradoxe du menteur (variante)

Définissons provisoirement le mensonge comme l'action de formuler une proposition fausse. Le

poète crétois Epiménide affirme : "Tous les Crétois sont des menteurs", soit la proposition P.

Comment décider de la valeur de vérité de P ? Si P est vraie, comme Epiménide est Crétois, P doit

être fausse. Il faut donc que P soit fausse pour pouvoir être vraie, ce qui est contradictoire. P est

donc fausse. Remarquons qu'on ne peut pas en déduire, comme dans le véritable paradoxe du

menteur, que P doit aussi être vraie.

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