Notes sur la défléxion de la lumière - 1° partie , Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez9 January 2014

Notes sur la défléxion de la lumière - 1° partie , Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur Notes sur la défléxion de la lumière - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: démonstration, EFFET SHAPIRO, "effet Lense-Thirring".
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Nous avons donc montré que :

(50.401)

en remplaçant les facteurs par leurs valeurs respectives nous avons :

(50.402)

Mais nous avons vu plus haut que :

(50.403)

et comme K est la constante des aires donnée par la conservation du moment cinétique lui-

même constant (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

(50.404)

Nous avons alors pour un photon .

Finalement l'équation du mouvement d'un photon se résume à :

(50.405)

Posons maintenant pour simplifier les notations :

(50.406)

alors :

(50.407)

Le terme à droite de l'égalité est petit (vu les constantes qui y interviennent...) si bien qu'une

forme approchée de l'équation différentielle est :

(50.408)

Dont une solution particulière est qui ne le savons d'avance est intéressante :

(50.409)

Nous portons cette solution approximée dans l'équation différentielle initiale et nous obtenons :

(50.410)

Soit :

(50.411)

Soit :

(50.412)

La suite va être très subtile (comment deviner quelque chose comme cela...?). D'abord nous

allons créer une nouvelle équation différentielle:

(50.413)

L'astuce consiste à multiplier cette équation par i et la sommer à l'équation différentielle

d'origine :

(50.414)

Ce que nous noterons :

(50.415)

L'astuce est de chercher une solution particulière de la relation précédente sous la forme :

(50.416)

Nous avons alors :

(50.417)

Ceci injecté dans notre nouvelle équation différentielle donne :

(50.418)

Nous en déduisons immédiatement :

(50.419)

Une solution particulière de l'équation différentielle d'origine est donc :

(50.420)

Soit en utilisant les relations trigonométriques remarquables :

(50.421)

Il vient :

(50.422)

La solution générale est finalement :

(50.423)

Si nous admettons que la lumière est très faiblement déviée par le Soleil, le rayon de courbure

(1/r) de sa trajectoire sera très faible.

Ainsi :

(50.424)

tel que :

(50.425)

Le premier terme est prédominant par rapport au deuxième à cause du facteur qui est très

petit sur le deuxième. Pour la suite, nous procédons comme dans le chapitre d'Astronomie

(juste les notations changent) pour lors de l'étude de l'angle de déflexion (si vous n'y revenez

pas vous ne pourrez comprendre la justification de ce qui va être fait!). Nous posons sans

perdre en généralité que :

(50.426)

Soit :

(50.427)

et comme :

(50.428)

il vient :

(50.429)

En utilisant les relations trigonométriques à nouveau :

(50.430)

Il vient :

(50.431)

étant supposé très petit nous faisons un développement de MacLaurin (cf. chapitre de Suites

Et Séries) au premier ordre des fonctions trigonométriques :

(50.432)

Ce qui donne :

(50.433)

Donc après une série d'approximations... et d'hypothèses limites acceptables nous arrivons à :

(50.434)

au lieu du résultat que nous avions obtenu selon l'approche newtonienne dans le chapitre

d'Astronomie:

(50.435)

Nous trouvons donc le facteur 2 qui faisait défaut au traitement classique du problème,

relativement aux mesures expérimentales, que nous avons vu dans le chapitre d'Astronomie.

(50.436)

Cette déviation a pu être mise en évidence en mesurant la position des étoiles au voisinage du

disque solaire lors de l'éclipse de 1919 par Arthur Eddington et son équipe. Après l'avance du

périhélie de Mercure, il s'agissait du second test passé avec succès par la Relativité Générale.

C'est cet événement qui a rendu Albert Einstein célèbre auprès du grand public. Aujourd'hui, la

déviation des rayons lumineux a pu être mesurée avec beaucoup plus de précision en

considérant les signaux radio émis par des sources extragalactiques (quasars, AGN, etc...) : la

prédiction de la Relativité Générale a été confirmée au millième près.

La déviation des rayon lumineux est aujourd'hui très importante en cosmologie

observationnelle,

puisqu'elle est a l'origine du phénomène de mirage gravitationnel, encore appelée "lentille

gravitationnelle".

Il est intéressant de remarquer que toute la théorie des mirages gravitationnels est basée

sur la relation:

(50.437)

du moins pour un détecteur ponctuel. C'est le seul ingrédient de Relativité Générale utilisé dans

le calcul des images.

EFFET SHAPIRO

En 1964, Shapiro démontra qu'un rayon lumineux n'était pas seulement dévié en passant près

d'une masse, mais également que la durée de son trajet était allongée par rapport à une

géométrie euclidienne. Il calcula que le retard devait atteindre environ 200 microsecondes,

donc parfaitement mesurable, pour une ligne de visée rasant le Soleil. Il suggéra alors de

mesurer systématiquement la durée mise par un signal radar pour effectuer le trajet aller-

retour entre la Terre et une planète passant derrière le Soleil (pour que l'effet soit maximal).

Cela fut d'abord accompli avec des échos radar sur Mars, Vénus ou Mercure, avec une précision

de l'ordre de 20%. Le résultat est très net : la durée nécessaire à un signal radar pour faire

l'aller-retour Terre-Planète augmente brutalement juste avant que la planète passe derrière le

Soleil et diminue tout aussi brutalement quand celle-ci réapparaît.

Remarque: Nous parlons parfois de ralentissement de la lumière près du Soleil pour décrire

l'effet Shapiro mais c'est une expression maladroite et erronée. Comme cela a déjà été

mentionné, la vitesse de la lumière est constante en relativité générale aussi bien qu'en relativité

restreinte. Dans le cas de l'effet Shapiro (et dans d'autres cas similaires), ce qui change c'est

l'écoulement du temps là où passe la lumière, par rapport à ce qu'il est là où se situe

l'observateur.

Bien qu'il s'agisse d'un effet faible, on a pu le vérifier très précisément depuis l'arrivée des

sondes Viking sur Mars en 1976, à l'aide de signaux envoyés depuis la Terre vers Mars et

réfléchis sur cette dernière par les sondes (voir le principe de l'expérience sur la figure

suivante). En outre, il existe même désormais un objet de plus en plus courant pour le

fonctionnement duquel l'effet Shapiro doit être pris en compte : le "G.P.S." (Global Positioning

System). En effet, malgré la faiblesse du champ de gravitation terrestre, une précision

géographique de quelques mètres nécessite de tels détails dans les calculs. Toutefois, un

satellite a été lancé récemment dont le but est de vérifier, dans le champ de gravitation

terrestre, un effet encore plus faible prédit par la relativité générale et qui n'intervient même

pas dans le GPS : l'entraînement de l'espace-temps, aussi nommé "effet Lense-Thirring".

Signalons pour le GPS que deux phénomènes d'erreur sont connus dans le cadre de la relativité:

1. Les satellites tournent autour de la Terre à une vitesse approximative de 20'000 kilomètres

par heure retardent alors de 7 millionièmes de seconde par jour (relativité restreinte).

2. A l'altitude de 20'200 kilomètres, celle de l'orbite des satellites, le champ gravitationnel plus

faible fait avancer les horloges satellitaires de 45 millionièmes de seconde par jour.

La somme des deux corrections donne une dérive de 38 millionièmes de seconde par jour, un

chiffre ahurissant pour un système GPS dont la précision se doit d'être de 50 milliardièmes de

seconde par jour.

Faisons le calcul pour un rayon frôlant la surface du Soleil. Pour cela, nous reprenons notre

métrique de Schwarzschild :

(50.438)

avec :

(50.439)

Pour un photon, nous savons que et donc l'équation de la métrique de Schwarzschild

s'écrit alors :

(50.440)

La trajectoire du photon ayant lieu dans le plan équatorial du Soleil, nous posons :

(50.441)

ce qui simplifie encore l'équation de la métrique en :

(50.442)

Pour simplifier encore plus nous faisons l'hypothèse (surprenante!) que la trajectoire (en

coordonnées polaires) du photon rasant le Soleil est rectiligne telle que (pour une des

composantes polaires du plan):

(50.443)

où est le rayon du Soleil. Nous allons utiliser cette hypothèse pour simplifier l'équation de la

métrique. Pour cela nous réarrangeons :

(50.444)

Nous dérivons (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

(50.445)

Si nous mettons le tout au carré :

(50.446)

d'où :

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