Notes sur la défléxion de la lumière - 2° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la défléxion de la lumière - 2° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur la défléxion de la lumière - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la démonstration, les trous noirs, l'horizon du Trou Noir de Schwarzschild, le principe de l'indépendance par...
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(50.447)

Nous pouvons maintenant récrire l'équation de la métrique :

(50.448)

En prenant la racine :

(50.449)

Etant donné que et que alors :

(50.450)

Dès lors nous avons en utilisant les développements de MacLaurin (cf. chapitre de Suites Et

Séries) au premier ordre :

(50.451)

Nous avons alors :

(50.452)

Nous avons finalement une fois condensé :

(50.453)

Ce qu'il est de tradition de noter (nous sortons le 1/c des différents termes) :

(50.454)

S'il n'y pas de masse alors l'espace-temps est plat et . Dès lors :

(50.455)

Nous pouvons ainsi distinguer le temps classique du temps supplémentaire engendré par

l'espace courbe. Le "retard" sera donc donné par :

(50.456)

Ensuite, pour intégrer les quatre fonctions de r il faut se placer dans un référentiel placé si

possible au centre de l'astre principal (le Soleil typiquement) puisque la métrique de

Schwarzschild est basée sur cette hypothèse pour rappel... Ainsi, pour connaître le retard d'un

rayon lumineux partant du Soleil jusqu'à la Terre, nous choisirons logiquement comme rayon

de départ celui du Soleil lui-même ( ) et comme rayon d'arrivée, la distance Soleil-Terre

( ).

(50.457)

Bon ceci dit c'est bien joli de connaître les notations d'usage mais c'est encore mieux de faire

une application numérique! Nous allons donc déterminer la primitive de chacun des termes ci-

dessous:

(50.458)

Les deux premières primitives sont simples car il s'agit de primitives usuelles démontrées dans

le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral:

(50.459)

où pour la dernière primitive nous avons préservé la constante d'intégration (contrairement à ce

qui a été fait dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral car ).

Maintenant il nous reste les deux dernières intégrales. Commençons dans l'ordre par:

(50.460)

En posant:

(50.461)

et en utilisant les résultats démontrés dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral nous

avons alors:

(50.462)

Puisque nous avons (cf. chapitre de Trigonométrie):

(50.463)

Alors:

(50.464)

Enfin, il reste la dernière primitive:

(50.465)

Nous posons pour la suite:

(50.466)

Il vient alors:

(50.467)

Dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral nous avons démontré que:

(50.468)

et que :

(50.469)

Donc:

(50.470)

Pour revenir à l’intégrale du début on se rappelle que . Donc:

(50.471)

Nous avons donc au final:

(50.472)

Nous voyons dans le cas limite Newtonien où , nous avons:

(50.473)

Donc pour un aller-retour (entre planète et satellite par exemple), il vient alors dans ce cas

simplifié:

(50.474)

TROUS NOIRS

En restant toujours à notre métrique de Schwarzschild....Une trajectoire radiale de type lumière

implique:

(50.475)

donc:

(50.476)

et dans un trajectoire radiale directe (par définition) nous avons aussi:

et (50.477)

donc:

(50.478)

Dès lors:

(50.479)

Il vient alors:

(50.480)

D'où:

(50.481)

Posons en unités naturelles . Il vient alors:

(50.482)

Lorsque le membre de droite de l'égalité tend vers , donc l'évolution du

temps t (observateur extérieur) en fonction de r tend vers l'infini par rapport au temps propre

de la lumière.

La sphère donnée par le rayon:

(50.483)

définit "l'horizon du Trou Noir de Schwarzschild".

Vers cette frontière limite, la lumière semble mettre un temps infini par rapport à un

observateur extérieur à se déplacer lorsqu'elle approche un Trou Noir. Elle ne parvient donc

jamais vraiment à l'atteindre par rapport à l'observateur, d'où le fait que les Trous Noirs

peuvent être entourés en fonction de leur environnement d'un halo lumineux aux abords du

rayon de Schwarzschild. De plus, puisque le temps semble arrêté, la fréquence de la lumière

environnant le Trou Noir a une fréquence qui tend vers zéro et tend vers l'infra-rouge.

Signalons encore un point très important. Avant Einstein, la géométrie était considérée comme

partie intégrante des lois. Einstein a montré que la géométrie de l'espace évolue dans le temps

selon d'autres lois, encore plus profondes. Il est important de bien comprendre ce point. La

géométrie de l'espace ne fait pas partie des lois de la nature. Par conséquent, rien que nous

puissions trouver dans ces lois ne dit ce qu'est la géométrie de l'espace. Ainsi, avant de

commencer à résoudre les équations de la théorie générale de la relativité d'Einstein, nous

n'avons strictement aucune idée de ce qu'est la géométrie. Nous la découvrons seulement une

fois les équations résolues.

Cela signifie que les lois de la nature doivent s'exprimer sous une forme qui ne présuppose pas

que l'espace ait une géométrie fixe. C'est le coeur de la leçon einsteinienne. Cette forme se

traduit en un principe appelée "indépendance par rapport au fond". Ce principe énonce dont

que les lois de la nature peuvent être décrites dans leur totalité sans présupposer la géométrie

de l'espace.

In extenso, le choix des quatre dimensions fait partie du fond. Serait-il possible qu'une autre

théorie plus profonde ne nécessite pas présupposer le nombre de dimensions?

En résumé, l'idée de l'indépendance par rapport au fond, dans sa formulation la plus générale

est une façon sage de faire de la physique: faite de meilleures théories, dans lesquelles les

choses qui, avant, étaient postulées, seront expliquées en permettant à de telles choses

d'évoluer dans le temps en fonction de lois nouvelles.

C'est là aussi une difficulté de la théorique quantique. Elle est dépendante de fond

contrairement à la relativité générale.

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