Notes sur la densité statistique non-dégénérée des porteurs positifs - 1° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la densité statistique non-dégénérée des porteurs positifs - 1° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur la densité statistique non-dégénérée des porteurs positifs - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la démonstration, une intégration par parties, les bandes d'énergie.
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Avant toute chose, il faut savoir que dans l'état actuel de nos connaissances les "trous"

n'émergent pas des équations mais sont une construction empirique qui permet de faire

correspondre la théorie et l'expérience (charges positives de l'effet Hall par exemple). Il s'agit

donc d'un artifice pour faire une théorie simple d'une question intraitable rigoureusement à

notre époque par la physique quantique.

Personnellement, je considère les trous de la même manière que les points de Lagrange en

astronomie: Même s'il n'y aucun corps en ces points de Lagrange cela n'empêche pas un

satellite de se mettre en orbite (quasi-stable) autour de ceux-ci (possibilité que nous n'avons

pas démontrée dans le chapitre d'Astronomie) comme s'il y avait une masse! Par ailleurs des

expériences auraient démontré au début des années 2000 que des points de Lagrange

apparaissent au niveau de l'atome dans certaines conditions idéales et simplifiées!

Ceci dit il faut se rappeler que un trou n'est pas un électron qui manque! C'est une idiotie que

l'on voit dans certains ouvrages spécialisés.

Au risque de se répéter un peu souvent, rappelons que pour une température T fixée la

probabilité qu'un électron occupe un état d'énergie E:

(38.164)

Ce qui fait que pour avoir une meilleure approximation nous écrivions en toute logique la

densité volumique d'états occupés par unité d'énergie:

(38.165)

Ce qui nous a amené finalement à la relation suivante de la densité volumique d'états où la

présence d'une masse dans la relation indique que les états occupés le sont par des quasi-

particules tel que:

(38.166)

Mais qu'en est-il de la probabilité qu'un électron n'occupe pas pour une température T fixée un

état d'énergie E et trivialement donnée par la différence:

(38.167)

Eh bien nous allons constater que les équations nous amènent à la possibilité d'associer aussi à

ces états non occupés densité volumique d'états avec une masse effective donnée (et plus tard

une charge électrique égale et positive à l'électron).

Nous avons donc:

(38.168)

faisons maintenant la même approximation que pour les porteurs négatifs c'est-à-dire que:

(38.169)

pour imposer un régime semi-classique et donc les états d'énergie ne sont de loin pas tous

occupés par les trous (il n'y a donc pas dégénérescence).

Cette restriction impose:

(38.170)

Soit écrit de la même manière que pour les porteurs négatifs:

(38.171)

Soit contrairement aux porteurs négatifs cela impose:

(38.172)

en d'autres termes l'énergie doit être bien inférieure au niveau de Fermi (potentiel chimique).

Les physiciens notent alors cette énergie pour la distinguer et l'appellent "énergie maximale

de la bande de valence" (qui correspond à l'énergie maximale d'un trou quasi-libre pour

satisfaire cette condition).

Dès lors:

(38.173)

Nous sommes donc bien dans une situation où la physique classique prédomine sur la physique

quantique. C'est la raison pour laquelle dans cette approximation nous disons qu'un que nous

avons alors affaire à un "semi-conducteur non-dégénéré" car les trous ne sont pas entassés

dans les niveaux les plus hauts disponibles.

Nous avons alors:

(38.174)

Pour pouvoir continuer, nous faisons un changement de variable en posant:

(38.175)

d'où:

et (38.176)

Il vient alors:

(38.177)

Nous faisons une intégration par parties:

(38.178)

nous faisons ensuite un changement de variable en posant:

(38.179)

Ce qui donne:

(38.180)

Nous avons déjà calculé cette intégrale dans le chapitre de Statistiques. Il vient (puisque la

fonction est paire):

(38.181)

Nous avons alors finalement:

(38.182)

où pour rappel, est la masse de la quasi-particule (et non la masse du trou pour rappel!).

Donc après intégration tout se passe comme si tous les trous étaient concentrés sur le niveau

d'énergie avec un nombre de places disponibles correspondant à:

(38.183)

Ce que nous notons traditionnellement (et de manière un peu malheureuse... car il n'est pas

évident de se rappeler qu'il s'agit d'une densité):

(38.184)

ou encore:

(38.185)

où nous avons environ à température ambiante (c'est le paramètre de la masse effective qui

varie entre les deux) les valeurs suivantes d'états (quasi-)libres respective pour le Silicium:

(38.186)

et pour le Germanium:

(38.187)

BANDES D'ÉNERGIE

Les développements précédents pour les porteurs négatifs et positifs nous ont monté que dans

le cadre de l'approximation d'un gaz de fermion non dégénéré, l'énergie des porteurs négatifs

doit se trouver bien au-dessus du niveau de Fermi (potentiel chimique) et l'énergie des porteurs

positifs bien en-dessous.

C'est donc comme s'il y a avait un intervalle d'énergie interdit ou ni électrons, ni trous ont droit

de se situer! Cet intervalle d'énergie est traditionnellement appelé "bande d'énergie interdite"

ou plus simplement "bande interdite" et abrégée B.I.

L'intervalle d'énergie interdit est quand à lui souvent appelé "gap" et est noté .

(38.188)

De plus, sachant que la chimie moléculaire permet de démontrer que des structures sont

composées de multiples bandes (en fonction du premier et deuxième nombre quantique) il

vient alors les définitions rigoureuses suivantes:

D1. La "bande de conduction" (notée BC) d'une structure solide est la bande de plus basse

énergie partiellement occupée ou vide (sachant que d'autres bandes se situent au-dessus en

termes énergétiques mais ne se rempliront que sous des températures élevées et existent que

par une description théorique lorsqu'elles sont vides).

D2. La "bande de valence" (notée BV) d'une structure solide est la bande de plus haute énergie

saturée, c'est-à-dire dont tous les états sont occupés (sachant qu'il peut y avoir en-dessous de

multiples bandes en termes énergétiques et toutes saturées).

Nous avons également l'association schématique traditionnelle des bandes de conduction et de

valence avec la fonction de Fermi-Dirac (qui comme déjà mentionné en tout rigueur devrait être

le potentiel chimique à température non nulle!) représentée sous forme simplifiée par:

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