Notes sur la densité statistique non-dégénérée des porteurs positifs - 2° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la densité statistique non-dégénérée des porteurs positifs - 2° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur la densité statistique non-dégénérée des porteurs positifs - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les remarques, la loi d'ohm.
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(38.189)

Mais au fait cette représentation, que nous retrouvons un peu partout dans les mauvais livres,

est très erronée... puisqu'en faisant une approximation semi-classique par la loi de Maxwell-

Boltzmann il n'est plus question en toute rigueur de représenter la distribution sous forme de

loi de Fermi-Dirac comme l'aura remarqué le lecteur attentif! Comme quoi il faut faire attention

car la représentation traditionnelle de dans la modèle semi-classique indiquerait qu'il y

aurait des états occupés dans la bande interdite alors que si nous représentions la fonction de

Maxwell-Boltzmann , nous verrions deux fonctions distinctes au-dessus et en-dessous de

la bande interdite!!!

Et il faut se rappeler (!) que la figure ci-dessus (même si elle est assez fausse) représente

concedptuellement un semi-conducteur non dégénéré suite aux approximations semi-

classiques que nous avons faites dans nos développements en utilisant le modèle d'un gaz non

dégénéré (approximation de Maxwell-Boltzmann) et qui imposait théoriquement:

(38.190)

que de nombreux auteurs écrivent (à nouveau c'est malheureux mais c'est ainsi...):

(38.191)

Donc il vient qu'une autre définition possible du semi-conducteur non dégénéré: c'est celui où

le niveau de Fermi (le potentiel chimique!) se situe dans la bande interdite et ce cas correspond

au fonctionnement de la majorité des composants microélectroniques.

Remarque: Rappelons (cf. chapitre de Mécanique Statistique) que la statistique de Maxwell-

Boltzmann a été bâtie en supposant l'absence d'interaction entre les particules concernées. De

plus, cette statistique est construite dans le cadre de la mécanique classique et ne s'applique donc

que lorsque les effets quantiques sont négligeables, par exemple à des températures

suffisamment hautes!

Voici quelques valeurs expérimentales pour des semi-conducteurs courants:

300 [K] 0 [K]

C 5.47 5.51

Ge 0.66 0.75

Si 1.12 1.16

GaAs 1.43 1.53

Tableau: 55.2 - Valeurs de quelques gap

nous comprenons alors de suite au vu des ces chiffres pourquoi le diamant, à structure

cristalline et atomique quasi-identique, est isolant alors que le Silicium devient lui conducteur!

Ce qui est intéressant pour les chercheurs c'est de combiner des matériaux afin de jour avec la

largeur de en fonction des besoins!

Par ailleurs, nous pouvons aussi conclure hâtivement... que ce qui différence isolants et semi-

conducteurs c'est la largeur de leur bande interdite.

Remarquons aussi que l'énergie nécessaire à un électron pour passer de la bande de valence à

la bande de conduction peut lui être fournie par un rayonnement. Dans le cas d'une absorption

de lumière, l'énergie d'un photon peut être suffisante à cela tant que:

(38.192)

A basse température, un tel processus est capable de rendre le matériau conducteur

(technologie des télescopes spatiaux à basse température). Cette propriété est appelée la

"photoconductivité".

LOI D'OHM

Nous avons démontré dans le cadre du modèle de Drude que la conductivité était donnée par:

(38.193)

où n est pour rappel la densité de porteurs dans le matériau. Nous avons également démontré

que le courant est inversement proportionnel à la conductivité selon la relation:

(38.194)

Dans le cadre des développements faits plus haut nous avons vu que la densité n des

porteurs était donnée respectivement par les relations suivantes à un potentiel constant

(hypothèse du modèle):

et (38.195)

où la masse relative de la quasi-particule (porteur négatif ou porteur positif) ne sont pas

nécessairement égaux! Ainsi, nous avons donc la résistance qui peut être approchée par une

relation de la forme:

(38.196)

et nous vérifions aisément cette dépendance en représentant graphiquement:

(38.197)

soit ln(R) en fonction de 1/T (la résistance ne dépend donc que de la température en théorie... à

tension constante).

La vraie complexité tient au fait que beaucoup de termes sont dépendants de la température (le

niveau de Fermi, le temps de libre parcours moyen, etc.) et du potentiel appliqué ce qui fait que

dans la réalité les courbes obtenues ne sont pas de loin pas conformes à la théorie....!

Une application numérique montre que les densités de porteurs et augmentent donc

très rapidement déjà à partir de la température ambiante! Ce qui est conforme à l'expérience

avec les semi-conducteurs non-dégénérés car nous aurons alors la conductivité qui augmente

tout aussi fortement ce qui implique une baisse rapide de la résistance!

La grande sensibilité de la conductivité de certains solides aux variations de température est à

l'origine de nombreuses applications, tant pour les métaux conducteurs que pour les semi-

conducteurs. C'est ce que nous appelons des "thermistances".

Enfin, indiquons que dans le cas du Silicium nous avons alors que l'énergie

cinétique due à l'agitation thermique (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus) est

donnée à température ambiante par:

(38.198)

Or, nous avons vu précédemment que seuls les électrons dont l'énergie était voisine de celle du

niveau de Fermi pouvaient participer à la conduction. Leur énergie cinétique valant alors:

(38.199)

où est la "vitesse de Fermi".

En égalisant les deux dernières relations:

(38.200)

Il y a donc un rapport d'un facteur de 30 entre les deux énergies, soit en prenant la racine

carrée, un rapport 5 entre les vitesses. Nous avons donc:

(38.201)

Or, nous avons déjà vu lors de notre étude du modèle de Drude que la vitesse thermique nous

amenait à un libre parcours moyen supérieur d'un ordre grandeur (facteur 10) des distances

interatomiques. Et ici nous avons donc un facteur 5 en plus!!!! Soit plus de 50 distances

interatomiques! Le libre parcours moyen l d'un électron de conduction est donc beaucoup plus

grand que celui que nous avions déterminé à partir du modèle classique de Drude. Ainsi, le

libre parcours moyen ne semble pas due aux collisions avec les ions du réseau mais elle est

imputable aux imperfections du réseau: défauts de structure, atomes étrangers...

Un semi-conducteur parfait (pur), soit sans imperfections, tel que nous l'avons traité

théoriquement jusqu'à maintenant est appelé un "semi-conducteur intrinsèque" : il ne comporte

donc aucune impureté et son comportement électrique ne dépend que de la structure du

matériau. Ce comportement correspond à un semi-conducteur parfait, c'est-à-dire sans défaut

structurel ou impureté chimique. Un semi-conducteur réel n'est jamais parfaitement

intrinsèque mais peut parfois en être proche comme le silicium monocristallin pur.

Dans un semi-conducteur intrinsèque, les porteurs de charge ne sont créés que par excitation

thermique. Le nombre d'électrons dans la bande de conduction est alors égal au nombre de

trous dans la bande de valence comme nous l'a montré notre modèle théorique.

Il faut savoir qu'en réalité ces semi-conducteurs ne conduisent pas, ou très peu, le courant,

excepté si nous les portons à haute température.

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