Notes sur la divisibilité, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur la divisibilité, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématique sur la divisibilité Les principaux thèmes abordés sont les suivants: définitions, démonstrations, remarques.
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Divisibilité.

Définition: Soit avec . Nous disons que "Adivise B (sans restes)" s'il existe un

entier q (le quotient) tel que :

(4.15)

auquel cas nous écrivons :

A|B (4.16)

Dans le cas contraire, nous écrivons et nous lisons "A ne divise pas B".

Remarques:

1. Se rappeler que le symbole | est une relation alors que le symbole / est une opération!

2. Il ne faut pas confondre l'expression "A divise B" qui signifie que le reste est obligatoirement nul

est "A est le diviseur de la division de B" qui indique que le reste n'est pas forcément nul!

Par ailleurs, si A|B, nous dirons aussi que "B est divisible par A" ou que "B est un multiple de A".

Dans le cas où A|B et que , nous dirons que A est un "diviseur propre" de B.

De plus, il est clair que A|0 quel que soit sinon quoi nous avons une singularité.

Voici maintenant quelques théorèmes élémentaires se rattachant à la divisibilité:

T1. Si A|B, alors A|BC quel que soit

Démonstration:

Si A|B, alors il existe un entier q tel que . Alors, et ainsi A|BC.

C.Q.F.D.

T2. Si A|B et B|C, alors A|C.

Démonstration:

Si A|B et B|C, alors il existe des entiers q et r tels que et . Donc, et

ainsi A|C.

C.Q.F.D.

T3. Si A|B et A|C, alors :

, (4.17)

Démonstration:

Si A|B et A|C, alors il existe des entiers q et r tels que et . Il s'ensuit que:

(4.18)

et ainsi que .

C.Q.F.D.

T4. Si A|B et B|A, alors

Démonstration:

Si A|B et B|A, alors il existe des entiers q et r tels que et . Nous avons

donc et ainsi ; c'est pourquoi nous pouvons avoir si et

qu'ainsi

C.Q.F.D.

T5. Si A|B et alors

Démonstration:

Si A|B et , alors il existe un entier tel que . Mais alors, ,

puisque .

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