Notes sur la division euclidienne - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur la division euclidienne - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la division euclidienne - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La division euclidienne, la démonstration, Le plus grand commun diviseur, l'exemple, l'algorithme d'euclide...
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Division euclidienne.

La division euclidienne est une opération qui, à deux entiers naturels appelés dividende et

diviseur, associe deux entiers appelés quotient et reste. Initialement définie aux entiers naturels

non nuls, elle se généralise aux entiers relatifs et aux polynômes, par exemple.

Définition: Nous appelons "division euclidienne" ou "division entière" de deux

nombres A et B l'opération consistant à diviser B par A en s'arrêtant quand le reste devient

strictement inférieur à A.

Rappelons que tout nombre qui n'a pas de diviseur euclidien autre 1 et lui-même est dit "nombre

premier" et que tout couple de nombres qui n'ont que 1 comme diviseur euclidien commun sont

dits "premiers entre eux".

Soit avec . Le "théorème de la division euclidienne" affirme qu'il existe des entiers

uniques q et r tels que :

(4.19)

où . De plus, si , alors .

Démonstration:

Considérons l'ensemble:

(4.20)

Il est facile de voir que et que , d'où, d'après le principe du bon ordre, nous

concluons que S contient un plus petit élément . Soit q l'entier satisfaisant donc à

(4.21)

Nous voulons d'abord montrer que en supposant le contraire (démonstration par l'absurde),

c'est-à-dire que . Alors, dans ce cas, nous avons :

(4.22)

ce qui est équivalent à:

(4.23)

mais et:

(4.24)

ce qui contredit le fait que :

(4.25)

est le plus petit élément de S. Donc, . Enfin, il est clair que si , nous avons A|B, d'où la

seconde affirmation du théorème.

C.Q.F.D.

Remarque: Dans l'énoncé de la division euclidienne, nous avons supposé que . Qu'obtenons-nous

lorsque ? Dans cette situation, -A est positif, et alors nous pouvons appliquer la division euclidienne

à B et -A. Par conséquent, il existe des entiers q et r tels que:

où (4.26)

Or, cette relation peut s'écrire , où bien sûr, -q est un entier. La conclusion est que la

division euclidienne peut s'énoncer sous la forme plus générale :

Soit , alors il existe des entiers q et r tels que , où . De plus,

si , alors .

Les entiers q et r sont dans la division euclidienne uniques. En effet, s'il existe deux autres

entiers et tels que avec toujours , alors et

ainsi . En vertu de (T5) nous avons, si , . Or, cette dernière inégalité

est impossible puisque . Donc, et, puisque , alors ; d'où

l'unicité. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

Soit tels que . Le "plus grand commun diviseur" (noté "PGCD" par la suite)

de a et b, noté :

(4.27)

est l'entier naturel d non nul qui satisfait aux deux propriétés suivantes :

P1. d|a et d|b (donc sans reste r dans la division!)

P2. si c|a et c|b alors et c|d (par définition!)

Notons que 1 est toujours un diviseur commun de deux entiers arbitraires.

Exemple:

Considérons les entiers positifs 36 et 54. Un diviseur commun de 36 et 54 est un entier positif qui

divise 36, et aussi 54. Par exemple, 1 et 2 sont des diviseurs communs de 36 et 54.

(4.28)

Nous avons alors l'intersection représentée par le diagramme de Venn suivant:

(4.29)

avec l'ensemble des diviseurs communs suivant:

(4.30)

et donc le PGCD est:

(4.31)

et nous constatons que l'ensemble des diviseurs communs de 36 et 54 est aussi l'ensemble des

diviseurs de 18.

Cependant, il n'est pas forcément évident que le PGCD autre qu'unitaire (c'est-à-dire différent 1)

de deux entiers aet b qui ne sont pas premier entre eux existe toujours. Ce fait est démontré dans

le théorème suivant (cependant, si le PGCD existe, il est de par sa définition unique!) dit "théorème

de Bézout" qui permet aussi de démontrer d'autres propriétés intéressantes de deux nombres

comme nous le verrons plus tard.

Démonstration:

Soit tels que . Si d divise a et d divise b (pour les deux sans reste r!) il existe alors

obligatoirement des entiers relatifs x et y tels que:

(4.32)

Cette relation est appelée "identité de Bézout" et il s'agit d'une équation diophantienne linéaire (cf.

chapitre de Calcul Algébrique).

Evidemment, si a et b sont premiers entre eux nous savons que d vaut alors 1.

Pour démontrer l'identité de Bézout considérons d'abord l'ensemble:

(4.33)

Comme et , nous pouvons utiliser le principe du bon ordre et conclure

que S possède un plus petit élément d. Nous pouvons alors écrire:

(4.34)

pour un certain choix . Il suffit donc de montrer que pour démontrer

l'identité de Bézout!

Procédons via une démonstration par l'absurde en posant supposant . Alors si c'est le cas,

d'après la division euclidienne, il existe tels que , où . Mais alors:

(4.35)

Ainsi, nous avons que et , ce qui contredit le fait que d est le plus petit élément

possible de S. Donc nous avons démontré ainsi non seulement que d|a mais qu'en plus d existe

toujours et, de la même façon, nous démontrons que d|b.

Comme corollaire important montrons maintenant que si tels que , alors :

(4.36)

constitue l'ensemble de tous les multiples de :

Comme d|a et d|b, alors pour tout . Soit . Nous voulons

montrer que .

Soit d'abord ce qui signifie que d|s et qui implique . Soit un , cela voudrait

donc dire que pour un certain .

Comme pour un choix d'entiers quelconques , alors:

(4.37)

C.Q.F.D.

Les hypothèses peuvent sembler compliquées mais portez plutôt votre attention un certain temps

sur la dernière relation. Vous allez tout de suite comprendre!

Remarque: Si au lieu de définir le PGCD de deux entiers non nuls, nous permettons à l'un d'entre eux d'être

égal à 0, disons , ? Dans ce cas, nous avons a|b et , selon notre définition du PGCD, il est clair

que .

Soit et soit , alors nous avons les propriétés suivantes du PGCD :

P1.

P2. où

P3.

P4. Si tel que g|a et g|b alors

Dans certains ouvrages, ces quatre propriétés sont démontrées en utilisant intrinsèquement la

propriété elle-même. Personnellement nous nous en abstiendrons car faire cela est plus ridicule

qu'autre chose à notre goût car la propriété est une démonstration en elle-même.

Elaborons maintenant une méthode qui s'avérera très importante pour calculer le plus grand

commun diviseur de deux entiers (utile en informatique parfois).

ALGORITHME D'EUCLIDE

L'algorithme d'Euclide est un algorithme permettant de déterminer le plus grand commun diviseur

de deux entiers.

Pour aborder cette méthode de manière intuitive, il faut savoir que vous devez comprendre un

nombre entier comme une longueur, un couple d'entiers comme un rectangle (côtés) et leur PGCD

est la taille du plus grand carré permettant de carreler (paver) ce rectangle par définition (oui si

vous réfléchissez un petit moment c'est assez logique!).

L'algorithme décompose le rectangle initial en carrés, de plus en plus petits, par divisions

euclidiennes successives, de la longueur par la largeur, puis de la largeur par le reste, jusqu'à un

reste nul. Il faut bien comprendre cette démarche géométrique pour comprendre ensuite

l'algorithme.

Exemple:

Considérons que nous cherchons le PGCD (a,b) où b vaut 21 et a vaut15 et gardons à l'esprit que

le PGCD, outre le fait qu'il divise a et b, doit laisser un reste nul! En d'autres termes il doit pouvoir

diviser le reste de la division de b par a aussi!

Nous avons donc le rectangle de 21 par 15 suivant:

(4.38)

D'abord nous regardons si 15 est le PGCD (on commence toujours par le plus petit). Nous divisons

alors 21 par 15 ce qui équivaut géométriquement à:

(4.39)

15 n'est donc pas le PGCD (on s'en doutait...). Nous voyons immédiatement que nous n'arrivons

pas à paver le rectangle avec un carré de 15 par 15.

Nous avons donc un reste de 6 (rectange de gauche). Le PGCD comme nous le savons doit, s'il

existe, par définition pouvoir diviser ce reste et laisser un reste nul.

Il nous reste donc un rectangle de 15 par 6. Nous cherchons donc maintenant à paver ce nouveau

rectangle car nous savons que le PGCD est par construction inférieur ou égal à 6. Nous avons

alors:

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