Notes sur la division euclidienne des polynômes, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur la division euclidienne des polynômes, Notes de Mathématiques

PDF (113.9 KB)
2 pages
208Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur la division euclidienne des polynômes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la Démonstration, les remarques.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document

Division euclidienne des polynômes.

Plaçons nous à présent dans l'anneau k[X]. Si , nous notons deg(P) le degré du

polynôme P(X) à coefficients dans un anneau k (les réels ou les complexes... peu importe!)

Remarque: Par convention,

Soit:

(8.54)

avec .

Alors il existe deux polynômes uniques tels que:

(8.55)

et:

(8.56)

Démonstration:

Si u(X) = 0 le résultat est évident. Supposons que et montrons l'existence par récurrence

sur le degrék de u(X).

Si k = 0 alors q(X) = 0 (puisque ) et donc r(X) = u(X) fait l'affaire.

Supposons l'affirmation vraie pour tout :

Soit u(X) de degré . Si alors q(X) = 0 et r(X) = u(X) font l'affaire.

Sinon, si alors en écrivant:

(8.57)

nous réduisons u(X) à un polynôme de degré puisque v(X) est de degré m (et qu'il existe)!

Effectivement, le terme:

(8.58)

élimine (au moins) le terme de plus grand degré

Par hypothèse de récurrence, il existe f(X),g(X) tels que:

(8.59)

avec . Donc:

(8.60)

et:

, (8.61)

font l'affaire.

Donc par récurrence nous observons que la division euclidienne existe dans l'anneau des

polynômes k[X].

C.Q.F.D.

Remarque: Cette démonstration nous a permis dans le chapitre de théorie des ensembles de montrer

que cet anneau est "principal".

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome