Notes sur la durée de l'arc diurne , Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez9 January 2014

Notes sur la durée de l'arc diurne , Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur la durée de l'arc diurne. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: remarques, démonstration.
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Nous allons nous intéresser à la durée du jour, plus exactement à la portion de journée où nous

sommes éclairés par le soleil, par rapport à la nuit où nous nous trouvons dans l'ombre.

Remarque: Merci à Xavier Hubaut pour ces très sympathiques développements.

Dans la réalité, la Terre tourne autour du soleil et décrit une orbite presque circulaire en même

temps elle tourne sur elle-même autour de son axe qui est incliné d'environ 23°27' sur le plan

de son orbite (l'écliptique).

(47.182)

Remarque: Il est évident qu'étant donnée la complexité du problème, nous le simplifierons en

considérant une orbite circulaire, sans variations (précession, nutation) de l'axe de rotation de la

Terre, nous supposerons que le soleil est réduit à un point (pas d'aurore, ni de crépuscule, etc.).

Rappelons que la précession est le changement graduel d'orientation de l'axe de rotation d'un

objet quand un couple (de force) lui est appliqué alors que la nutation est un balancement

périodique de l'axe de rotation de la Terre autour de sa position moyenne en plus de la

précession.

Représentons la Terre avec son axe de rotation vertical; en conséquence l'équateur sera situé

dans un plan horizontal.

Supposons que ce jour-là, la Terre soit dans une position telle que les rayons du soleil forment

un angle avec le plan de l'équateur (ou que réciproquement la Terre forme un angle avec le

plan de l'équateur). Remarquons que cet angle sera toujours compris selon les mesures

actuelles entre -23°27' et + 23°27'.

Pour que les choses soient plus gaies, nous avons choisi de faire notre analyse sur un jour

où est positif. Ainsi, dans l'hémisphère nord nous sommes proches du solstice d'été !

Nous chercherons donc durée du jour à un endroit situé à une latitude ? Pour fixer les idées,

plaçons-nous dans les environs de Bruxelles à 50° de latitude Nord.

Considérons maintenant les figures ci-dessous où la première correspond à une vue de la Terre

de côté à un instant t de son orbite lorsque et la seconde à une coupure cylindrique de

rayon NJ (correspond au rayon du parallèle de Bruxelles) du volume de la Terre à ce même

instant :

(47.183)

Sur les figures ci-dessus, C désigne le centre de la Terre, et O le centre du parallèle de

Bruxelles.

Fixons un instant t et désignons par M (matin) et S (soir) les deux points du parallèle de

Bruxelles où le soleil se lève et se couche (ces points seront considérés comme fixes quelque

soit t pour l'instant, ce qui est bien évidemment erroné par rapport à la réalité), tandis

que J (jour) et N (nuit) seront ceux où il est respectivement midi et minuit.

P sera le point sur le disque correspondant au parallaxe de Bruxelles où le plan du méridien de

midi (le plan dont un des côtés est NJ) coupe la droite MS.

Enfin, désignera l'angle (où O est donc le centre du disque généré par le parallèle de

Bruxelles) qui sous-tend la partie éclairée par le Soleil et r désignera le rayon .

Pour simplifier le problème, supposons que pendant 24 heures la Terre tourne sur elle-même

sans modifier la position de son axe de rotation par rapport au Soleil.

L'angle peut se calculer en remarquant que OP vaut, en valeur absolue :

(47.184)

où r représente le rayon du parallèle de Bruxelles.

Or, en utilisant les propriétés des fonctions trigonométriques (cf. chapitre de Trigonométrie).

Nous avons :

(47.185)

Or, il nous faut encore injecter le paramètre . Connaissant la latitude de Bruxelles, nous

avons :

(47.186)

où R est le rayon de la Terre.

Nous avons aussi :

(47.187)

et dans le triangle COP :

(47.188)

Enfin, en comparant les valeurs obtenues pour PO, nous obtenons :

(47.189)

et comme :

(47.190)

Nous obtenons finalement :

(47.191)

et donc :

(47.192)

Aux équinoxes (c'est-à-dire quand l'équateur est confondu avec le plan de l'écliptique), nous

avons et donc :

(47.193)

Or, comme nous l'avons spécifié au début, il faut prendre la valeur absolue donc :

(47.194)

En d'autres, quelque soit la latitude que nous prenons, l'angle formé par la zone de nuit est

égale à l'angle formé par la zone de jour (les deux étant égal à ).

Prenons maintenant le solstice d'été, lorsque en considérant toujours la latitude de

Bruxelles , nous avons :

(47.195)

ce qui, traduit en nombre d'heures :

(47.196)

soit environ

En résumé pour calculer la durée du jour, il suffit de connaître deux choses: la latitude du lieu

et l'angle selon lequel le soleil tombe sur le plan de l'équateur à la date choisie. La valeur de cet

angle est bien connue aux équinoxes (il vaut 0°) et aux solstices (il vaut +23°27' et -23°27').

Mais aux autres dates ?

La réponse est fort simple. Imaginons-nous, assis sur le Soleil regardant tout au long de l'année

en direction du centre de la Terre.

Au cours de sa rotation autour du Soleil, l'axe de rotation de la Terre conserve son inclinaison

sur l'écliptique. Vu du Soleil, cet axe tournera autour d'une normale au plan de l'écliptique et

décrira donc un cône dont le demi-angle au sommet vaut 23°27' (voir figure plus bas).

L'angle d'attaque des rayons solaires sur le plan de l'équateur variera donc en fonction de la

date (nous associons à la date, l'angle parcouru par la Terre sur son orbite, à partir de sa

position à l'équinoxe de printemps)

Par conséquent l'angle variera en fonction de la date de manière sinusoïdale.

Pour ceux qui ne seraient pas convaincus par ce raisonnement semi-intuitif, voici une autre

approche :

Pour la lisibilité du schéma, nous avons fortement exagéré l'angle formé par l'axe de rotation de

la Terre avec l'écliptique.

(47.197)

Soit C le centre de la Terre, A l'extrémité d'un vecteur unité dirigé suivant l'axe de rotation

de la Terre (soit perpendiculaire au plan de l'équateur) et un autre vecteur unité dirigé vers

le Soleil. Soit maintenant l'angle du rayon CS avec le plan de l'équateur et l'angle entre les

vecteurs unitaires et . Nous avons alors :

(47.198)

Effectivement, le vecteur étant perpendiculaire au plan de l'équateur il forme un angle droit

avec celui-ci dès lors puisque l'angle est l'angle entre ce vecteur et l'écliptique en est le

complémentaire.

Nous avons donc :

(47.199)

Décomposons maintenant en la somme de dirigé perpendiculairement au plan de

l'écliptique et de situé dans le plan de l'écliptique :

(47.200)

Ainsi :

(47.201)

Mais :

(47.202)

Donc finalement :

(47.203)

et comme nous avons démontré que :

(47.204)

Nous obtenons finalement :

(47.205)

A présent le problème est résolu et la durée du jour sera fonction de deux variables: la

date et la latitude .

Il nous suffit donc maintenant de reprendre la relation :

(47.206)

et d'y injecter le nouveau résultat :

(47.207)

Avec les outils informatiques à notre disposition, nous pouvons aisément calculer la valeur

de . Nous avons par exemple ci-dessous les variations de la durée du jour sur une année à

des latitudes allant de 0 à 90° réparties de 10 en 10°

(47.208)

A partir de la latitude du cercle polaire, nous observons, en été, des périodes avec soleil

ininterrompu (soleil de minuit) et, en hiver, des journées entières de nuit.

Pour Bruxelles (latitude=50°) nous voyons sur le graphique que la durée du jour varie

approximativement entre les valeurs de 16h (solstice d'été) et 8h (solstice d'hiver).

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