Notes sur la fonction binomiale - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur la fonction binomiale - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la fonction binomiale - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction /loi.binomiale, exemples, la fonction hypergéométrique.
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Fonction binomiale.

Si nous revenons maintenant à notre épreuve de Bernoulli. Plus généralement, tout N-uplet

particulier formé de k succès et de N-kéchecs aura pour probabilité (dans le cadre d'un tirage avec

remise ou sans remise si la population est grande en première approximation...):

(7.194)

d'être tiré (ou d'apparaître) quel que soit l'ordre d'apparition des échecs et réussites.

Mais, nous savons que la combinatoire permet de déterminer le nombre de N-uplets de ce type (le

nombre de manières d'ordonner les apparitions d'échecs et de réussites). Le nombre

d'arrangements possibles étant, nous l'avons démontré (cf. chapitre Probabilités), donné par la

binomiale :

(7.195)

Donc comme la probabilité d'obtenir une série de k succès et N-kéchecs particuliers est toujours

identique (quelque soit l'ordre) alors il suffit de multiplier la probabilité d'une série particulière par

la combinatoire (cela étant équivalent à faire à une somme):

(7.196)

pour avoir la probabilité totale d'obtenir une quelconque de ces séries possibles (puisque chacune

est possible).

Remarque: Cela équivaut à l'étude d'un tirage avec remise (cf. chapitre de Probabilités) simple avec

contrainte sur l'ordre ou à l'étude d'une série de succès ou d'échecs. Nous utiliserons cette relation

dans le cadre de la théorie des files d'attentes ou en fiabilité. Il faut noter que dans le cas de grandes

populations, même si le tirage n'est pas avec remise il est considéré comme tel...

Ecrite autrement ceci donne la "fonction Binomiale" (ou "loi Binomiale") connue aussi sous la forme

de la fonction de distribution suivante:

(7.197)

et parfois notée:

(7.198)

et peut être calculée dans MS Excel à l'aide de la fonction LOI.BINOMIALE( ).

Nous disons parfois que la loi Binomiale est non exhaustive car la taille de la population initiale

n'est pas apparente dans l'expression de la loi.

Exemple:

Nous souhaitons tester l'alternateur d'un groupe électrogène. La probabilité de défaillance à la

sollicitation de ce matériel est estimée à 1 défaillance pour 1'000 démarrages.

Nous décidons d'effecteur un test de 100 démarrages. La probabilité d'observer 1 panne au cours

de ce test est de:

(7.199)

Nous avons bien évidemment pour la fonction de répartition (très utile dans la pratique comme le

contrôle de lots de fournisseurs ou la fiabilité!):

(7.200)

Effectivement, nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Algébrique que:

(7.201)

Donc:

(7.202)

Il vaut mieux utiliser MS Excel pour ne pas s'embêter à calculer ce genre de relations (ou tout autre

logiciel largement répandu) en utilisant la fonction CRITERE.LOI.BINOMIALE( ).

L'espérance mathématique (moyenne) de P(N,k) est:

(7.203)

Or:

(7.204)

d'où:

(7.205)

donne le nombre moyen de fois que l'on obtiendra l'issue souhaitée de

probabilité p après N essais.

Avant de calculer la variance, introduisons la relation suivante:

(7.206)

En effet, en utilisant les développements précédents:

(7.207)

Commençons maintenant le (long) calcul de la variance dans lequel nous allons utiliser les

résultats précédents:

(7.208)

L'écart-type étant , nous avons :

(7.209)

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution et respectivement de répartition de la loi binomiale :

(7.210)

FONCTION HYPERGÉOMÉTRIQUE

Nous considérons pour approche à cette fonction un exemple simple concernant une urne

contenant n boules dont m sont noires et les autres m' blanches (pour un exemple concret utilisé

dans l'industrie se reporter au chapitre de Génie Industriel). Nous tirons successivement, et sans

les remettre dans l'urne, p boules. Quelle est la probabilité que parmi ces p boules, il y en ait k qui

soient noires (dans cet énoncé l'ordre du tirage ne nous intéresse donc pas!).

Nous parlons souvent de "tirage exhaustif" avec la loi hypergéométrique car contrairement à la loi

binomiale, la taille du lot qui sert de base au tirage va apparaître dans la loi. Raison pour laquelle

la loi hypergéométrique tend vers les valeurs de la loi normale lorsque la taille du lot est petite.

Remarque: Cela équivaut à l'étude non ordonnée d'un tirage sans remise (cf. chapitre de

Probabilités) avec contrainte sur les occurrences appelé parfois "tirage simultané". Nous utiliserons

cette relation souvent dans le domaine de la qualité ou de la fiabilité ou les boules noires sont

associées à des éléments avec défauts et les blanches à des éléments sans défauts.

Les p boules peuvent être choisies parmi les n boules de façons (représentant donc le nombre

de tirages différents possibles) avec pour rappel (cf. chapitre de Probabilités) :

(7.211)

Les k boules noires peuvent être choisies parmi les m noires de façons. Les p-k boules

blanches peuvent être elles choisies de façons. Il y a donc tirages qui

donnent k boules noires et p-k boules blanches.

La probabilité recherchée vaut donc:

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