Notes sur la fonction binomiale - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur la fonction binomiale - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la fonction binomiale - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la notion, le calcul, exemples.
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(7.212)

et est dite suivre une "fonction Hypergéométrique" (ou "loi Hypergéométrique") et peut être

obtenue heureusement de manière directe dans MS Excel avec la fonction

LOI.HYPERGEOMETRIQUE( ).

Exemples:

E1. Nous souhaitons mettre en production un petit développement informatique de 10'000 lignes

de code. Le retour d'expérience) montre que la probabilité de défaillance est de 1 bug pour 1'000

lignes de code.

Nous testons environ 50% des fonctions du logiciel au hasard avant l'envoi au client (soit

l'équivalent de 5'000 lignes de code). La probabilité d'observer 5 bugs est avec MS Excel:

=LOI.HYPERGEOMETRIQUE(5;5000;10000;10000)=24.62%

E2. Dans une petite production unique d'un lot de 1'000 pièces dont nous savons que 30% en

moyenne sont mauvaises à cause de la complexité des pièces par retour d'expérience d'un

fabrication précédente similaire. Nous savons qu'un client va en tirer 20 au hasard pour décider

d'accepter ou de rejeter le lot. Il ne rejettera pas le lot s'il trouve zéro pièce défectueuse parmi ces

20. Quelle est la probabilité d'en avoir exactement 0 de défectueuse?

=LOI.HYPERGEOMETRIQUE (0;20;300;1000)=0.073%

et comme on exige un tirage nul, le calcul de la loi hypergéométrique se simplifie en:

(7.213)

Il n'est pas interdit de faire le calcul direct de l'espérance et de la variance la fonction

hypergéométrique mais le lecteur pourra sans trop de peine imaginer que ce calcul va être...

relativement indigeste. Alors nous pouvons utiliser une méthode indirecte qui de plus est

intéressante.

D'abord le lecteur aura peut-être, même certainement, remarqué qu'au fait l'expérience de la loi

hypergéométrique est une série d'essais de Bernoulli (sans remise bien entendu!).

Alors, nous allons tricher en utilisant dans un premier temps la propriété de linéarité de

l'espérance. Définissons pour cela une nouvelle variable correspondant implicitement au fait à

l'expérience da la fonction hypergéométrique (k essais de Bernoulli de suite!) :

(7.214)

où représente la réussite d'obtenir au i-ème tirage une boule noire (soit 0 ou 1). Or, nous

savons que pour tout i la variable aléatoire suit une fonction de Bernoulli pour laquelle nous

avons démontré lors de notre étude de la loi de Bernoulli que . Dès lors, de par la

propriété de linéarité de l'espérance nous avons :

(7.215)

Or, dans l'essai de Bernoulli, p est la probabilité d'obtenir l'élément recherché (pour rappel...).

Dans la loi hypergéométrique ce qui nous intéresse est la probabilité d'avoir une boule noire (qui

sont en quantité m, avec donc m' boules blanches) par rapport à la quantité totale de boules n. Et

le rapport nous donne évidemment cette probabilité. Ainsi, nous avons :

(7.216)

où k est le nombre de tirages (attention à ne pas confondre avec l'énoncé initial!). Cette moyenne

donne donc le nombre moyen de boules noires lors d'un tirage de k boules parmi n.

Pour déterminer la variance, nous allons utiliser la variance de la fonction de Bernoulli et la relation

suivante démontrée lors de l'introduction de l'espérance et de la covariance au début de ce

chapitre :

(7.217)

Dons en rappelant que nous avons il vient:

(7.218)

Or, pour la loi de Bernoulli, nous avons:

(7.219)

Alors nous avons déjà:

(7.220)

Ensuite, nous avons facilement:

(7.221)

Le calcul de nécessite une bonne compréhension des probabilités (c'est un bon rappel!).

L'espérance est donnée (implicitement) par la somme pondérée des probabilités que

deux événements aient lieu en même temps comme nous le savons. Or, nos événements sont

binaires: soit c'est une boule noire (1) soit c'est une boule blanche (0). Donc tous les termes de la

somme n'ayant pas deux boules noirs consécutivement seront nuls!

Le problème est alors de calculer la probabilité d'avoir deux boules noires consécutives et celle-ci

s'écrit donc:

(7.222)

Donc nous avons finalement:

(7.223)

Soit:

(7.224)

Finalement:

(7.225)

où nous avons utilisé le fait que:

(7.226)

est composé de:

(7.227)

terme puisqu'il correspond au nombre de façons qu'il y a de choisir le couple (i, j) avec .

Donc finalement:

(7.228)

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction Hypergéométrique de

paramètre :

(7.229)

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