Notes sur la fonction caractéristique, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur la fonction caractéristique, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la fonction caractéristique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: notion, démonstration.
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Fonction caractéristique.

Avant de donner une démonstration à la manière ingénieur du théorème central limite,

introduisons d'abord la conception de "fonction caractéristique" qui tient une place centrale en

statistiques.

D'abord, rappelons que la transformée de Fourier est donnée dans sa version physicienne par (cf.

chapitre de Suites et Séries) la relation:

(7.143)

Rappelons que la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier

pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences.

Nous souhaitons maintenant démontrer que si:

alors (7.144)

En d'autres termes, nous cherchons une expression simplifiée de la transformée de Fourier de la

dérivée de f(x).

Démonstration:

Nous partons donc de:

(7.145)

Une intégration par parties donne :

(7.146)

En imposant que, f tend vers zéro à l'infini, nous avons alors:

(7.147)

et:

(7.148)

C'est la premier résultat dont nous avions besoin.

C.Q.F.D.

Maintenant, démontrons que si:

alors (7.149)

Démonstration:

Nous partons donc de:

(7.150)

C'est le deuxième résultat dont nous avions besoin.

C.Q.F.D.

Maintenant effectuons le calcul de la transformée de Fourier de la loi Normale centrée-réduite (ce

choix n'est pas innocent...) :

(7.151)

Nous savons que cette dernière relation est trivialement solution de l'équation différentielle (ou

bien elle vérifie) :

(7.152)

en prenant la transformée de Fourier des deux côté de l'égalité, nous avons en utilisant les deux

résultats précédents:

alors (7.153)

alors

Nous avons:

(7.154)

Ou encore:

(7.155)

Donc après intégration:

(7.156)

Nous avons:

(7.157)

Nous avons démontré lors de notre étude de la loi Normale que:

(7.158)

Donc:

(7.159)

Nous avons alors (résultat important!):

(7.160)

Introduisons maintenant la fonction caractéristique telle que définie par les statisticiens:

(7.161)

qui est un outil analytique important et puissant permettant d'analyser une somme de variables

aléatoires indépendantes. De plus, cette fonction contient toutes les informations caractéristiques

de la variable aléatoire X.

Remarque: La notation n'est pas innocente puisque le E[...] représente une espérance de la fonction

de densité par rapport à l'exponentielle complexe.

Donc la fonction caractéristique de la variable aléatoire normale centrée réduite de distribution:

(7.162)

devient simple à déterminer car:

(7.163)

raison pour laquelle la fonction caractéristique de la loi Normale centrée réduite est souvent

assimilée à une simple transformée de Fourier.

Et grâce au résultat précédent:

(7.164)

Donc:

(7.165)

qui est le résultat dont nous avons besoin pour le théorème central limite.

Mais avant cela, regardons d'un peu plus près cette fonction caractéristique:

(7.166)

En développement de MacLaurin nous avons (cf. chapitre Suites et Séries) et en changeant un peu

les notations:

(7.167)

et en intervertissant la somme et l'intégrale, nous avons:

(7.168)

Cette fonction caractéristique contient donc tous les moments (terme général utilisé pour l'écart-

type et l'espérance) de X.

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