Notes sur la fonction de Bernoulli, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur la fonction de Bernoulli, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématique sur la fonction de Bernoulli. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction de Bernoulli" (ou "loi de Bernoulli"), la fonction géométrique, le calcul, l'exemple.
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Fonction de Bernoulli.

Si nous avons affaire à une observation binaire alors la probabilité d'un événement reste constant

d'une observation à l'autre s'il n'y a pas d'effet mémoire (autrement dit: une somme de variables

de Bernoulli, deux à deux indépendantes).

Nous appelons ce genre d'observations où la variable aléatoire à valeurs 0 ou 1, avec probabilité

(1-p), p respectivement, des "essais de Bernoulli" avec "événements contraires à probabilités

contraires".

Ainsi, une variable aléatoire X suit une "fonction de Bernoulli" (ou "loi de Bernoulli") si elle ne peut

prendre que les valeurs 0 ou 1, associées aux probabilités q et p de sorte que et:

(7.166)

L'exemple classique d'un tel processus est le jeu de pile de face ou de tirage avec remise. Il est

inutile de vérifier formellement que la probabilité cumulée est unitaire...

Remarquons que par extension, si nous considérons N événements où nous obtenons dans un

ordre particulier k fois une des issues possible (réussite) et N-k l'autre (échec), alors la probabilité

d'obtenir une telle série (de k réussites et N-k échecs ordonnées dans un ordre particulier) sera

donnée par:

(7.167)

conformément à ce que nous avions vu obtenu en combinatoire dans le chapitre de Probabilités!

Exemple:

Tracé de la fonction pour :

(7.168)

La fonction de Bernoulli a donc pour espérance (moyenne):

(7.169)

et pour variance (nous utilisons la formule de Huyghens démontrée plus haut):

(7.170)

Remarque: L'exemple ci-dessus n'est certes par pertinent mais nous verrons dans le chapitre de

Techniques De Gestion que la fonction de Bernoulli apparaît naturellement au début de notre étude

des files d'attentes.

FONCTION GÉOMÉTRIQUE

La loi géométrique ou "loi de Pascal" consiste dans une épreuve de type Bernoulli, dont la

probabilité de succès est p et celle d'échec sont constantes, que nous renouvelons de

manière indépendante jusqu'au premier succès.

Si nous appelons X la variable aléatoire donnant le rang du premier succès la probabilité

que est alors (cas particulier de la fonction de Bernoulli):

(7.171)

avec .

Cette loi a pour espérance:

(7.172)

Or, cette dernière relation s'écrit aussi (car c'est une simple série géométrique):

(7.173)

Effectivement, nous avons démontré dans le chapitre sur les Suites et Séries que :

(7.174)

En prenant la limite lorsque nous obtenons :

(7.175)

car .

Ensuite, il suffit de dériver les deux membres de l'égalité par rapport à q et nous obtenons :

(7.176)

Nous avons donc le nombre moyen d'essais X qu'il faut faire pour arriver au premier succès:

(7.177)

Calculons maintenant la variance en rappelant comme à chaque fois que (formule de Huyghens):

(7.178)

Commençons donc par calculer :

(7.179)

Le dernier terme de cette expression est l'équivalent de l'espérance calculée précédemment. Soit :

(7.180)

Il reste à calculer :

(7.181)

Nous avons :

(7.182)

Or en dérivant l'égalité :

(7.183)

Nous obtenons :

(7.184)

Par conséquent :

(7.185)

Donc :

(7.186)

Pour finir :

(7.187)

Exemple:

E1. Vous essayez, tard dans la nuit et dans l'obscurité, d'ouvrir une serrure au moyen d'un

trousseau de 5 clés, sans porter attention, car vous êtes un peu fatigué (ou un peu éméché...) vous

essayez chaque clé. Sachant qu'une seule convient, quelle est la probabilité d'utiliser la bonne clé

au k-ème essai?

(7.188)

E2. Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction Géométrique de

paramètre :

(7.189)

Déterminons maintenant la fonction de répartition de la loi géométrique. Nous partons donc de:

(7.190)

nous avons alors par définition la probabilité que l'expérience réussisse dans les n premiers

essais:

(7.191)

avec n entier valant 0...1...2, etc.

Posons:

(7.192)

Nous avons alors:

(7.193)

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