Notes sur la fonction de Gauss-Laplace / la loi normale - 1° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la fonction de Gauss-Laplace / la loi normale - 1° partie, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur la fonction de gauss-laplaceloi normale - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la limite de la fonction Binomiale, une nouvelle variable aléatoire, la Démonstration, la "l...
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Fonction de gauss-laplace/loi normale.

Cette caractéristique est la plus importante fonction de distribution en statistiques suite au

résultat d'un théorème connu appelé "théorème central limite" qui comme nous le verrons, permet

de démontrer (entre autres) que toute suite de variables aléatoires indépendantes de même loi

ayant une espérance et un écart-type fini et non nécessairement égaux converge vers une fonction

de Gauss-Laplace (loi Normale).

Il est donc très important de focaliser particulièrement sont attention sur les développements qui

vont être faits ici!

Partons d'une fonction Binomiale et faisons tendre le nombre nd'épreuves vers l'infini. Si p est fixé

au départ, la moyenne tend également vers l'infini, de plus l'écart-type tend

également vers l'infini.

Remarque: Le cas où p varie et tend vers 0 tout en laissant fixe la moyenne ayant été étudié lors

de la présentation de la fonction de Poisson.

Si nous voulons calculer la limite de la fonction Binomiale, il s'agira donc de faire un changement

d'origine qui stabilise la moyenne, en 0 par exemple, et un changement d'unité qui stabilise

l'écart-type, à 1 par exemple.

Voyons tout d'abord comment varie en fonction de k(nombre de réussites) et calculons la

différence:

(7.252)

Nous en concluons que est une fonction croissante de k, tant que est positif

(pour n, p etq fixés). Pour le voir il suffit de prendre quelques valeurs (du membre de droite de

l'égalité) ou d'observer la distribution graphique de la fonction Binomiale en se souvenant bien

que:

(7.253)

Comme il est par conséquent évident que la valeur de k voisine de la

moyenne constitue le maxima de .

D'autre part la différence est le taux d'accroissement de la fonction . Nous

pouvons alors écrire :

(7.254)

comme étant la pente de la fonction.

Définissons maintenant une nouvelle variable aléatoire telle que sa moyenne soit nulle (variations

négligeables) et son écart-type unitaire (une variable centrée-réduite en d'autres termes). Nous

avons alors :

Nous avons alors aussi avec cette nouvelle variable:

(7.255)

Appelons F(x) l'expression de calculée en fonction de la nouvelle variable de moyenne nulle

et d'écart-type unitaire dont nous recherches l'expression quand n tend vers l'infini.

Reprenons:

(7.256)

Afin de simplifier l'étude de cette relation quand n tend vers l'infini et k vers l'espérance,

multiplions des deux côtés par :

(7.257)

Récrivons le terme de droite de l'égalité. Il vient alors:

(7.258)

Et maintenant récrivons le terme de gauche de la relation antéprécédente. Il vient:

Après un passage à la limite pour n tendant vers l'infini nous avons dans un premier temps pour le

terme antéprécédent:

(7.259)

Donc:

(7.260)

et dans un second temps, tenant compte du fait que les valeurs de k considérées se trouvent alors

au voisinage de l'espérance np, nous obtenons:

(7.261)

et:

(7.262)

Donc:

(7.263)

et comme:

(7.264)

Nous avons finalement:

(7.265)

Cette relation peut encore s'écrire en réarrangeant les termes:

(7.266)

et en intégrant les deux membres de cette égalité nous obtenons (cf. chapitre de Calcul

Différentiel Et Intégral) :

(7.267)

La fonction suivante est une des solutions de la relation précédente:

(7.268)

Effectivement:

(7.269)

La constante est déterminée par la condition que:

(7.270)

qui représente la somme de toutes les probabilités, vaille 1. Nous pouvons montrer pour cela que :

(7.271)

Démonstration:

Nous avons:

(7.272)

Donc concentrons-nous sur le dernier terme de l'égalité. Ainsi:

(7.273)

puisque est une fonction paire (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle). Ecrivons maintenant le

carré de l'intégrale de la manière suivante:

(7.274)

et faisons un changement de variable en passant en coordonnées polaires, dès lors nous faisons

aussi usage du Jacobien dans ses mêmes coordonnées (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et

Intégral) :

(7.275)

Par extension pour nous avons:

(7.276)

C.Q.F.D.

Nous obtenons donc la "loi normale centrée réduite" notée:

(7.277)

qui peut être calculée dans MS Excel avec la fonction LOI.NORMALE.STANDARD( ) ou pour la

réciproque par LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE( ).

Pour information, une variable suivant une loi Normale centrée réduite est très souvent par

tradition notée Z (pour "Zentriert" en allemand).

En revenant aux variables non normées:

(7.278)

nous obtenons donc la "fonction Gauss-Laplace" (ou "loi de Gauss-Laplace") ou également appelée

"loi Normale" :

(7.279)

souvent notée N( , ) qui peut être calculée dans MS Excel avec la fonction LOI.NORMALE( ) ou

pour la réciproque par LOI.NORMALE.INVERSE( ).

La probabilité cumulée de valoir une certaine valeur k étant bien évidemment donnée par :

(7.280)

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction Normale de paramètres

:

(7.281)

Cette loi régit sous des conditions très générales, et souvent rencontrées, beaucoup de

phénomènes aléatoires. Elle est par ailleurs symétrique par rapport à la moyenne (c'est

important de s'en souvenir).

Montrons maintenant que représente bien l'espérance mathématique (ou la moyenne)

de x (c'est un peu bête mais on peut quand même vérifier...):

(7.282)

Posons :

(7.283)

Nous avons dès lors :

(7.284)

Calculons la première intégrale:

(7.285)

Donc il vient au final:

(7.286)

Remarques:

R1. Le lecteur pourrait trouver cela déroutant dans un premier temps que le paramètre d'une

fonction soit un des résultats que nous cherchons de la fonction. Ce qui dérange est la mise en

pratique d'une telle chose. Au fait, tout s'éclairera lorsque nous étudierons plus loin dans ce chapitre

les concepts "d'estimateurs de vraisemblance".

R2. Indiquons que dans la pratique (finance, qualité, assurance, etc.) il est fréquent de devoir

calculer l'espérance uniquement pour des valeurs positives de la variable aléatoire qui est définie

alors naturellement comme étant "l'espérance positive" et donnée par:

(7.287)

Nous en verrons un exemple pratique dans le chapitre d'Économétrie lors de notre étude du modèle

théorique de la spéculation de Louis Bachelier.

Montrons aussi (...) que représente bien l'écart type de X (il convient, en d'autres termes de

montrer que ) et pour cela rappelons que nous avions démontré que (formule de

Huyghens):

(7.288)

Nous avons déjà calculé tout à l'heure commençons alors par

calculer :

(7.289)

Posons qui conduit dès lors à :

(7.290)

Or, nous savons :

(7.291)

Il reste donc à calculer la première intégrale. Pour cela, procédons par une intégration par parties

(cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) :

(7.292)

D'où :

(7.293)

Il vient finalement :

(7.294)

Une signification supplémentaire de l'écart-type dans la loi de Gauss-Laplace est une mesure de la

largeur de la distribution telle que (cela ne peut se vérifier qu'à l'aide d'intégration à l'aide de

méthodes numériques) que toute moyenne et pour tout écart-type non nul nous avons:

(7.295)

La largeur de l'intervalle a une très grande importance dans l'interprétation des incertitudes d'une

mesure. La présentation d'un résultat comme signifie que la valeur moyenne a environ

68.3% de chance (probabilité) de se trouver entre les limites de et , ou qu'elle a

95.5% de se trouver entre et etc.

Remarque: Ce concept est beaucoup utilisé en gestion de la qualité en entreprise particulièrement avec le

concept industriel anglo-saxon Six Sigma (cf. chapitre de Génie Industriel) qui impose une maîtrise de 6

autour de chaque côté (!) de la moyenne des côtés des pièces fabriquées (ou tout autre sujet dont on

mesure la déviation).

Niveau de qualité

Sigma

Taux de non-défection

assuré en %

Taux de défection en

parties par million

1 68.26894 317'311

2 95.4499 45'500

3 99.73002 2'700

4 99.99366 63.4

5 99.999943 0.57

6 99.9999998 0.002

Tableau: 7.4 - Niveau de qualité Sigma avec taux de défection/non-défection

La deuxième colonne du tableau peut facilement être obtenue avec Maple. Par exemple pour la

première ligne:

>S:=evalf(int(1/sqrt(2*Pi)*exp(-x^2/2),x=-1..1));

et la première ligne de la troisième colonne par:

>(1-S)*1E6;

Si la loi Normale est décentrée, il suffirait alors d'écrire pour la deuxième colonne:

>S:=evalf(int(1/sqrt(2*Pi)*exp(-(x-mu)^2/2),x=-1..1));

et ainsi de suite pour tout écart-type et toute moyenne on retombre sur les mêmes intervalles!!!

La loi de Gauss-Laplace n'est par ailleurs pas qu'un outil d'analyse de données mais également de

génération de données. Effectivement, cette loi est une des plus importantes dans le monde des

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