Notes sur la fonction de Pareto, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la fonction de Pareto, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur la fonction de Pareto. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la formalisation du principe des 80-20, la fonction de densité, l'"index de Pareto", la fonction exponentielle, exemple.
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Fonction de Pareto.

La "fonction de Pareto" (ou "loi de Pareto") est la formalisation du principe des 80-20. Cet outil

d'aide à la décision détermine les facteurs (environ 20%) cruciaux qui influencent la plus grande

partie (80%) de l'objectif.

Remarque:Cette loi est un outil fondamental et basique en gestion de la qualité (cf. chapitre de

Génie Industriel et Techniques de Gestion). Elle est aussi utilisée en réassurance. La théorie des

files d'attente s'est intéressée à cette distribution, lorsque des recherches des années 90 ont montré

que cette loi régissait aussi au nombre de grandeurs observées dans le trafic internet (et plus

généralement sur tous les réseaux de données à grande vitesse).

Une variable aléatoire est dite par définition suivre une loi de Pareto si sa fonction de répartition

est donnée par :

(7.369)

avec x qui doit être supérieur ou égal à xm.

La fonction de densité (fonction de distribution) de Pareto est alors :

(7.370)

avec et (donc ).

La distribution de Pareto est donc définie par deux paramètres, xm et k (nommé "index de Pareto").

C'est par ailleurs bien une fonction de distribution puisque étant connue sa fonction de

répartition:

(7.371)

L'espérance (moyenne) est donnée par:

(7.372)

si . Si , l'espérance n'existe pas.

Pour calculer la variance, en utilisant la relation :

(7.373)

Nous avons :

(7.374)

si . Si , n'existe pas.

Donc si :

(7.375)

Si , la variance n'existe pas.

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction de Pareto de

paramètre :

(7.376)

Remarque: Il faut noter que lorsque la distribution s'approche de où est la

fonction Delta de Dirac.

4.13. FONCTION EXPONENTIELLE

Nous définissons la "fonction exponentielle" (ou "loi exponentielle") par la relation de fonction de

distribution suivante :

(7.377)

avec qui comme nous allons de suite le montrer n'est au fait que l'inverse de la moyenne.

Remarques:

R1. Cette fonction se retrouve fréquemment en physique nucléaire (désintégrations) ou encore en

physique quantique ainsi qu'en fiabilité (maintenance préventive).

R2. Nous pouvons obtenir cette loi dans MS Excel avec la fonction LOI.EXPONENTIELLE( ).

Il s'agit par ailleurs bien d'une fonction de distribution car elle vérifie :

(7.378)

La fonction exponentielle a pour espérance (moyenne) en utilisant l'intégration par parties:

(7.379)

et pour variance nous utilisons à nouveau et il ne nous reste plus qu'à

calculer :

(7.380)

Un changement de variable conduit à :

(7.381)

Une double intégration par parties donne :

(7.382)

D'où il vient dès lors :

(7.383)

Donc l'écart-type (racine carrée de la variance pour rappel) et la moyenne ont exactement la même

expression!

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction exponentielle de

paramètre :

(7.384)

Déterminons maintenant la fonction de répartition de la loi exponentielle:

(7.385)

Remarque: Nous verrons plus loin que la fonction de distribution exponentielle n'est qu'un cas

particulier d'une fonction plus générale qui est la fonction du Khi-Deux, cette dernière aussi n'étant

qu'un cas particulier d'une fonction encore plus générale qui est la fonction Gamma.

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