Notes sur la fonction de student, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la fonction de student, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur la fonction de student. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation, la démonstration, changement de variable, la fonction de Fisher.
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Fonction de student.

La "fonction de Student" (ou "loi de Student") de paramètre k est définie par la relation :

(7.456)

avec k étant le degré de liberté de la loi du khi-deux sous jacente à la construction de la fonction

de Student comme nous allons le voir.

Indiquons qu'elle peut aussi être obtenue dans MS Excel à l'aide des fonctions LOI.STUDENT( ) et

sa réciproque par LOI.STUDENT.INVERSE( ).

Il s'agit bien d'une fonction de distribution car elle vérifie également (reste à démontrer

directement mais bon comme nous allons le voir elle est le produit de deux fonctions de

distribution donc indirectement...) :

(7.457)

Voyons la démonstration la plus simple pour justifier la provenance de la loi de Student et qui

nous sera en même temps très utile dans l'inférence statistique et l'analyse de la variance plus

loin.

Pour cette démonstration, rappelons que:

R1. Si X, Y sont deux variables aléatoires indépendantes de densités respectives , la loi du

couple (X,Y) possède une densitéf vérifiant (axiome des probabilités!):

(7.458)

R2. La loi N(0,1) est donnée par (voir plus haut):

(7.459)

R3. La loi est donnée par (voir précédemment):

(7.460)

pour et .

R4. La fonction est définie pour tout par (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

(7.461)

et vérifie (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

(7.462)

pour .

Ces rappels étant faits, considérons maintenant X une variable aléatoire suivant la

loi N(0,1) et Y une variable aléatoire suivant la loi .

Nous supposons X et Y indépendantes et nous considérons la variable aléatoire (c'est à l'origine

l'étude historique de la loi de Student dans le cadre de l'inférence statistique qui a amené à poser

cette variable dont nous justifierons l'origine plus loin):

(7.463)

Nous allons montrer T suit une loi de Student de paramètre n.

Démonstration:

Notons F et f les fonctions de répartition et de densité de T et ,f les fonctions de densité

de X, Y et (X,Y) respectivement. Nous avons alors pour tout :

(7.464)

où:

(7.465)

la valeur imposée positive et non nulle de y étant due au fait qu'elle est sous une racine et en plus

au dénominateur.

Ainsi:

(7.466)

où comme X suit une loi N(0,1):

(7.467)

est la fonction de répartition de la loi Normale centrée réduite.

Nous obtenons alors la fonction de densité de T en dérivant F:

(7.468)

car (la dérivée d'une fonction est égale à sa dérivée multipliée par sa dérivée intérieure):

(7.469)

Donc:

(7.470)

En faisant le changement de variable:

(7.471)

nous obtenons:

(7.472

)

ce qui est bien la loi de Student de paramètre n.

C.Q.F.D.

Voyons maintenant quelle est l'espérance de la loi de Student:

(7.473)

Nous avons:

(7.474)

Mais existe si et seulement si . En effet pour :

(7.475)

et:

(7.476)

Tandis que pour nous avons:

(7.477)

Ainsi pour , l'espérance n'existe pas.

Donc pour :

(7.478)

Voyons maintenant la valeur de la variance. Nous avons donc:

(7.479)

Discutons de l'existence de . Nous avons trivialement:

(7.480)

X suit une loi normale centrée réduite donc:

(7.481)

Pour ce qui est de nous avons:

(7.482)

où nous avons fait le changement de variable .

Mais l'intégrale définissant converge seulement si .

Donc existe si et seulement si et vaut alors selon les propriétés de la loi Gamma

d'Euler démontrées dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral:

(7.483)

Ainsi pour :

(7.484)

Il est par ailleurs important de remarque que cette loi est symétrique par rapport à 0!

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction de Student de paramètre :

(7.485)

4.19. FONCTION DE FISHER

La "fonction de Fisher" (ou "loi de Fisher-Snedecor") de paramètres k et l est définie par la relation:

(7.486)

si . Les paramètres k et l sont des entiers positifs et correspondent aux degrés de liberté

des deux lois du khi-deux sous-jacentes. Cette distribution est souvent notée ou F(k,l) et

peut être obtenue dans MS Excel par la fonction LOI.F( ).

Il s'agit bien d'une fonction de distribution car elle vérifie également (reste à démontrer

directement mais bon comme nous allons le voir elle est le produit de deux fonctions de

distribution donc indirectement...) :

(7.487)

Voyons la démonstration la plus simple pour justifier la provenance de la loi de Fisher et qui nous

sera en même temps très utile dans l'inférence statistique et l'analyse de la variance plus loin.

Pour cette démonstration, rappelons que:

R1. La loi est donnée par (voir plus haut):

(7.488)

pour et .

R2. La fonction est définie pour tout par (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

(7.489)

Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois et .

Nous considérons la variable aléatoire:

(7.490)

Nous allons donc montrer que la loi de T est la loi de Fisher-Snedecor de paramètres n, m.

Notons pour cela F et f les fonctions de répartition et de densité de T et , f les fonctions

de densité de X, Y et (X,Y) respectivement. Nous avons pour tout :

(7.491)

où:

(7.492)

où les valeurs positives imposées proviennent de l'origine d'une loi du khi-deux pour x et y.

Ainsi :

(7.493)

Nous obtenons la fonction de densité de T en dérivant F. D'abord la dérivée intérieure:

(7.494)

Ensuite en explicitant puisque:

et (7.495)

nous avons alors:

(7.496)

En faisant le changement de variable:

(7.497)

nous obtenons :

(7.498)

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