Notes sur la fonction Gamma d'Euler, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la fonction Gamma d'Euler, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur la fonction Gamma d'Euler. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la constante d'euler-mascheroni, la relation.
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FONCTION GAMMA D'EULER.

Nous définissons la fonction Gamma d'Euler (intégrale Eulérienne de deuxième espèce) par

l'intégrale suivante:

(10.401)

avec x appartenant à l'ensemble des nombres complexes dont la partie réelle est positive et non

nulle (donc les réels strictement positifs sont inclus dans le domaine de définition aussi...)!

Effectivement, si nous prenons des complexes avec une partie réelle nulle ou négative, l'intégrale

diverge et est alors non définie!

Remarque: Nous avons déjà rencontré cette intégrale et certaines de ses propriétés (qui vont être

démontrées ici) lors de notre étude des fonctions de distribution Bêta, Gamma, Khi-deux, Student et

Fisher en statistiques (cf. chapitre de Statistiques). Nous utiliserons également cette intégrale en

maintenance (cf. chapitre de Techniques De Gestion), en théorie des cordes (cf. chapitre de Théorie

Des Cordes) et dans d'autres domaines de l'ingénierie (voir la section correspondante).

Voici un tracé graphique du module de la fonction Gamma d'Euler pour x parcourant un intervalle

des nombres réels (attention dans Maple à bien écrire GAMMA en majuscules!!!):

>with(plots):

> plot(GAMMA(x),x=-Pi..Pi,y=-5..5);

(10.402)

et la même fonction tracée avec Maple mais dans le plan complexe cette fois-ci et toujours avec

en ordonnée le module de la fonction Gamma d'Euler:

>with(plots):

>plot3d(abs(GAMMA(x+y*I)),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,view=0..5, grid=[30,30],orientation=[-

120,45],axes=frame,style=patchcontour);

(10.403)

Cette fonction est intéressante si nous imposons que la variable x appartienne aux entiers positifs

et que nous l'écrivons sous la forme suivante :

(10.404)

Intégrons par partie cette dernière fonction:

(10.405)

Comme la fonction exponentielle décroît beaucoup plus vite que nous avons alors:

(10.406)

Dans la littérature, nous retrouvons fréquemment les notations suivantes (qui portent alors à

confusion) :

(10.407)

Ce qui nous amène à récrire le résultat sous une forme plus classique :

(10.408)

De la relation , il vient par récurrence :

(10.409)

Or :

(10.410)

ce qui donne :

(10.411)

Donc:

(10.412)

ou autrement écrit pour :

(10.413)

Un autre résultat intéressant de la fonction gamma d'Euler est obtenu lorsque nous

remplaçons t par et calculons celle-ci pour .

D'abord, nous avons :

(10.414)

ensuite :

(10.415)

Or, comme nous l'avons démontré dans le chapitre de statistiques lors de notre étude de loi de de

Gauss-Laplace, cette dernière intégrale vaut :

(10.416)

constante d'euler-MASCHERONI

Ce petit texte fait juste office de curiosité relativement à la constante d'Euler e et à presque tous

les outils de calcul différentiel et intégral que nous avons vu jusqu'à maintenant. C'est un très joli

exemple (presque artistique) de ce que nous pouvons faire avec les mathématiques dès que nous

avons suffisamment d'outils à notre disposition.

De plus, cette constante est utile dans certaines équations différentielles où nous la retrouverons.

Nous avions vu dans le chapitre d'analyse fonctionnelle que la constante d'Euler e est définie par la

limite :

(10.417)

Dans un cas plus général nous pouvons très facilement démontrer de la même façon que:

(10.418)

Cela suggère évidemment:

(10.419)

par changement de variable nous écrivons :

(10.420)

Pour transformer cette expression nous pouvons écrire :

(10.421)

Or la quantité:

(10.422)

tend vers la limite , appelée "constante d'Euler-Mascheroni" ou également "constante

Gamma d'Euler", lorsque n tend vers l'infini.

D'où:

(10.423)

Divisons chacun des termes du produit par l'entier correspondant pris dans n!,

nous obtenons donc:

(10.424)

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