Notes sur la fonction log-normale, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la fonction log-normale, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur la fonction log-normale. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction log-normale, le changement de variable, exemple.
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Fonction log-normale.

Nous disons qu'une variable aléatoire positive X suit une "fonction log-normale" (ou "loi log-

normale") de paramètres (moment de la loi log-Normale), si et seulement si en posant:

(7.326)

nous voyons que y suit une fonction de probabilité cumulée de type loi Normale de moyenne et

de variance (moments de la loi Normale).

La fonction de densité de X pour est alors (cf. chapitre de Calcul Intégral) :

(7.327)

qui peut être calculée dans MS Excel avec la fonction LOI.LOGNORMALE( ) ou pour la réciproque

par LOI.LOGNORNALE.INVERSE( ).

Ce type de scénario se retrouve fréquemment en physique, dans les techniques de maintenance ou

encore en finance des marchés dans le modèle de pricing des options (voir ces chapitres respectifs

du site pour des exemples concrets). Il y a par ailleurs une remarque importante relativement à la

loi log-normale dans le traitement plus loin du théorème central limite!

Montrons que la fonction de probabilité cumulée correspond bien à une loi Normale si nous

faisons le changement de variable mentionné précédemment:

(7.328)

en posant:

(7.329)

et :

(7.330)

nous avons bien:

(7.331)

L'espérance (moyenne) de X est donnée alors par (le logarithme népérien n'étant pas défini

pour nous bornons l'intégrale à partir de zéro) :

(7.332)

où nous avons effectué le changement de variable :

(7.333)

L'expression :

(7.334)

étant par ailleurs égale à :

(7.335)

la dernière intégrale devient donc :

(7.336)

Rappelons que la variance de X est définie par :

(7.337)

Calculons en procédant de manière similaire aux développements précédents:

(7.338)

où nous avons encore une fois le changement de variable:

(7.339)

et où nous avons transformé l'expression :

(7.340)

sous la forme:

(7.341)

Donc :

(7.342)

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction Log-Normale de

paramètres :

(7.343)

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