Notes sur la fonction multinomiale, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la fonction multinomiale, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur la fonction multinomiale. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la loi binômiale, le "coefficient multinomial", exemple.
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Fonction multinomiale.

La loi binomiale concerne le nombre de succès dans N épreuves de Bernoulli indépendantes

donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. La loi multinomiale est

une généralisation de celle-ci, applicable par exemple à N jets d'un dé à six faces. Contrairement à

ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont en plus généralement pas

équiprobables.

Considérons une approche à nouveau par l'exemple :

Soit l'espace des événements muni d'une probabilité . Nous

tirons n fois de suite avec remise un élément de avec la probabilité . Quelle est

la probabilité d'obtenir le nombre 1, fois le nombre 2, fois, sur une suite d'un tirage

de n éléments.

Remarque: Cela équivaut à l'étude d'un tirage avec remise (cf. chapitre de Probabilités) avec

contraintes sur les occurrences. Donc sans contraintes nous verrons par l'exemple que nous

retombons sur un tirage avec remise simple.

Nous avons vu dans le chapitre de Probabilités, que si nous prenons un ensemble d'événements

ayant plusieurs issues, alors les différentes combinaisons de suites que nous pouvons obtenir en

prenant péléments choisis parmi n est:

(7.230)

Il y a donc :

(7.231)

façons différentes d'obtenir fois un certain événement. Ensuite, en associant ce que nous avons

vu pour la loi binômiale il vient:

Il y a ensuite :

(7.232)

façons différentes d'obtenir un second événement puisque dans l'ensemble de la suite,

de n éléments déjà on été tirés ce qui fait qu'il n'en reste plus sur lesquels nous

pouvons obtenir les voulus.

Nous avons alors selon la loi binômiale:

(7.233)

et:

(7.234)

Alors nous avons dans le cas particulier de deux séries d'uplets:

(7.235)

et comme:

(7.236)

il vient:

(7.237)

Ainsi, par récurrence nous avons la probabilité probabilité P recherchée appelée "fonction

Multinomiale" (ou "loi Multinomiale") et donnée par :

(7.238)

dans des logiciels comme MS Excel, le terme:

(7.239)

appelé "coefficient multinomial" est disponible sous le nom de la fonction MULTINOMIALE( ).

Exemples:

E1. Nous lançons un dé non-pipé 12 fois. Quelle est la probabilité que les six faces apparaissent le

même nombre de fois (mais pas nécessairement conséctivement!):

(7.240)

où nous voyons bien que m correspond au nombre de groupes de réussites.

E2. Nous lançons un dé non-pipé 12 fois. Quelle est la probabilité qu'une seule et unique face

apparaisse 12 fois (donc que le "1" apparaisse 12 fois de suite, ou le "2", ou le "3", etc.):

(7.241)

Nous retrouvons donc avec ce dernier exemple un résultat connu de la binomiale.

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